Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Зростання і спадання функції. Екстремуми

Предмет: 
Тип роботи: 
Лекція
К-сть сторінок: 
7
Мова: 
Українська
Оцінка: 
Зростання і спадання функції. Екстремуми
 
1. Необхідні умови зростання і спадання функції 
 
Теорема. (необхідна умову зростання функції на інтервалі) 
Якщо диференційована функція f (x), x (a; b) зростає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х із інтервалу (a; b).
Доведення. Згідно з означенням зростаючої на (a; b) функції, якщо хх0, то f (х) f (х0), а якщо х х0, то f (х) f (х0). Отже, для будь-яких х0 і х із (a; b), хх0, справедлива нерівність
 Оскільки f (х) диференційована на (a; b), то, переходячи до границі в останній нерівності при хх0, дістанемо:
 Теорему доведено.
Розглянемо тепер теорему про необхідну умову спадання функції на інтервалі.
Теорема. (необхідну умову спадання функції на інтервалі)
Якщо диференційована функція f (х), x (a; b), спадає на інтервалі (a; b), спадає на інтервалі (a; b), то для будь-якого х0 з інтервалу (a; b).
Доведення. Оскільки функція f (х) спадна, то функція F(x)=-f(x) зростаюча, і тому, за теоремою 1, для будь-якого x0 (a; b). Звідси випливає, що для будь-якого x0 (a; b). Теорему доведено.
Інтервали, на яких функція зростає або спадає, називаються інтервалами монотонності цієї функції. Зауважимо без доведення, що якщо функція f (х) зростаюча (спадна) на інтервалі (a; b) і неперервна в точках a і b, то вона буде зростаючою (спадною) і на відрізку [a; b].
 
2. Достатні умови зростання і спадання функції
 
При доведенні теорем про достатні умови монотонності функція переважно використовується теорема, яку називають теоремою Лагранжа.
Теорема Лагранжа (Достатні умови зростання і спадання функції):
Якщо функція f (х), x [a; b], неперервна на відрізку [a; b] і диференційована на інтервалі [a; b], то знайдеться точка с (a; b) така, що має місце формула 
Геометричний зміст цієї теореми. На графіку функції розглянемо точки A(a; f(a)) i B(b; f(b)). Неважко помітити, що кутовий коефіцієнт січної (АВ), яка проходить через точки А і В, дорівнює , Запишемо формулу (1) в такому вигляді 
Згадуючи геометричний зміст похідної, можна сказати, що формула (2), а отже, й формула (1) означають таке: на інтервалі (a; b) знайдеться точка с така, що кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці С з абсцисою, яка дорівнює с, збігається з кутовим коефіцієнтом січної (АВ), тобто існує дотична до графіка заданої функції, яка паралельна січній (АВ).
Рис.1
Теорема. (достатня умова зростання функції)
Якщо функція має додатню похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то функція зростає на інтервалі (a; b).
Доведення. Нехай х1 і х2 – дві довільні точки інтервалу (a; b), які задовольняють умови х1 х2. Тоді, за теоремою Лагранжа, існує така точка с (х1;х2) така, що
Оскільки за умовою теореми i x2-x10, то з останньої формули випливає, що (х2) (х1). Останнє, згідно з означенням зростаючої функції, означає, що функція зростає на інтервалі (a; b). Теорему доведено.
Аналогічно доводять і наступну теорему про достатню умову спадання функції.
Теорема. (достатня умова спадання функції)
 Якщо функція має від’ємну похідну в кожній точці інтервалу (a; b), то функція спадає на інтервалі (a; b).
Отже,
Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку. 
Якщо f(x) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку. 
Ці два твердження називаються ознака¬ми зростання (спадання) функції на про¬міжку. 
Правило знаходження інтервалів монотонності
1) Знайти область визначення заданої функції у = f(x). 
Обчислимо похідну заданої функції , а потім знаходимо точки, в яких дорівнює нулю або не існує. Ці точки називаються критичними для функції .
2) Критичними точками область визначення функції розбивається на інтервали, на кожному з яких похідна зберігає свій знак. Ці інтервали є інтервалами монотонності.
3) Дослідимо знак на кожному із знайдених інтервалів. 
Розв'язати нерівності:
а) f'(x) > 0
б) f'(x) < 0.
Якщо на даному інтервалі , то на цьому інтервалі зростає, якщо ж , то на цьому інтервалі спадає.
Приклад 1. Знайти інтервали монотонності функції .
Розв’язання. Задана функція визначена й диференційована на всій числовій прямій, причому . Оскільки f /(x)0 для , то задана функція зростає на інтервалах і . Оскільки f /(x) 0 для , то задана функція спадає на інтервалі .
Приклад 2. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х3 - 3х2.
Розв'язання
1. Область визначення функції: D(y) = R.
2. Знаходимо похідну у' = 3х2 - 6х.
3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці не¬рівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі по¬хідної: 3х2 - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 2) нулі похідної і ви¬значаємо знаки похідної на кожному проміжку:
 Рис.2
y'(-1) = 3 • (-1)2 - 6 • (-1) = 3 + 6 = 9
Фото Капча