Зростання і спадання функції. Екстремуми

y'(1) = 3 · І2 – 6 - 1 = -3 < 0;

у'(3) = 3 • 32 – 6 • 3 = 27 - 18 = 9 > 0. 

а) у' > 0 в кожному із проміжків [- ; 0]; [2; + ], отже, функція на цих проміжках зростає. 

б) у' < 0 на проміжку [0; 2], отже, функція на цьому проміжку спадає. 

Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків [- ;0];[2;+ ]; спадає на проміжку [0; 2].

 

 

При дослідженні поведінки функції в деякій точці зручно користува¬тися поняттям околу. Околом точки а називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, інтер¬вали (2; 5), (2,5; 3,5), (2,9; 3,1) – околи точки 3.

Означення 1. Точка х0 з області визначення називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий -окіл точки х0, що для всіх х х0 з -околу виконується нерівність.

 Рис.3

Означення 2. Точка х0 з області визначення функції називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий -окіл точки х0, що для всіх хх0 з -околу виконується нерівність .

 Рис.4

Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в точках максимуму і мінімуму називають максимумом і мінімумом функції або екстремумами функції.

Приклад.

1. Для функцій, графіки яких зображено на рисунках 5, α—г знайдіть:

1) точки максимуму і мінімуму функції;

2) екстремуми функції.

Рис.5

Відповідь: 1) а) хmax= 3, xmin= 0, хmax= 3; б) хmax= – 8, xmin= – 6; хmax= – 3; xmin = 1; хmax= 5; в) xmin= –1; хmax= 1; г) xmin= –2; хmax= –1; xmin= 0; хmax= 1; xmin= 2;

2) a) ymax= 4; ymin=0; б) ymax= 5; ymax= 7; ymin= 0; в) ymin= –1; ymax= 1; г) ymin = –3; ymin= 0; ymax= 2.

Необхідна умова існування екстремуму

 Теорема Ферма. Якщо точка х0 є точкою екстремуму функції у= , визначеної в деякому околі точки х0, і в цій точці існує похідна , то вона дорівнює нулю: =0

Доведення. Для визначеності вважатимемо, що екстремальна точка х0 – точка максимуму. Згідно з означенням це означає, що існує -окіл точки х0 такий, що для всіх хх0 з -околу виконується нерівність .

За умовою теореми функція має в точці х0 похідну. Тому, з одного боку,

 тому що х - х0 0 і - 0 для всіх х ; а з другого боку,

 тому що х - х 0  0 і - 0 для всіх х .

Отже, =0

Доведення для точки мінімуму проводять аналогічно.

Зауваження. В теоремі Ферма встановлено лише необхідну умову існування екстремуму. Ця умова дає змогу лише виділити точки, в яких функція може мати екстремум. Це означає, що не будь-яка критична точка буде екстремальною. Наприклад, функція має в точці х=0 похідну, що дорівнює нулю, але для цієї функції точка х=0 не буде екстремальною.

Достатня умова існування екстремуму.

Теорема. Нехай функція неперервна в точці х0 і в її -околі має похідні, крім, можливо, самої точки х0. Тоді

а) якщо похідна при переході через точку х0 змінює знак з плюса на мінус, то точка х0 є точкою максимуму функції ;

б) якщо похідна при переході через точку х0 змінює знак з мінуса на плюс, то точка х0 є точкою мінімуму функції ;

в) якщо похідна при переході через точку х0 зберігає свій знак, то в точці х0 задана функція екстремуму не має.

Отже,

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч — від'ємна, тобто при переході через цю точку по¬хідна змінює знак з «+» на «–», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму.

Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від'ємна, а праворуч — додат¬на, тобто при переході через стаціонар¬ну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то ця стаціонарна точка є точка мінімуму (рис.6).

 Рис.6

Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знак, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від'ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.

Правило знаходження екстремумів функції

Нехай визначена і неперервна в деякому інтервалі (a; b), має похідну всюди на інтервалі (a; b), крім, можливо, скінченного числа стаціонарних точок. Тоді для знаходження екстремумів функції потрібно:

1) Знайти критичні точки функції , тобто точки, в яких або , або не існує.

2) Дослідити знак похідної в деякому -околі кожної критичної точки. Якщо змінює знак при переході через таку точку, то функція в цій точці має екстремум. А саме, якщо знак змінюється з мінуса на плюс, то в цій точці мінімум; якщо з плюса на мінус, то в цій точці максимум. Якщо ж знак не змінюється при переході через задану точку, то функція не має екстремуму в цій точці.

Приклад 1. Знайти екстремуми функції x R.

Розв’язання. 

1) Обчислимо похідну заданої функції і знайдемо критичні точки: =0, якщо ; не існує в точці х=0.Отже, критичні точки х1=0 і .

2) Дослідимо знак похідної в деякому околі кожної критичної точки. Результат дослідження заносимо в таблицю.

х 

х=00 х  

 х  

+не існує–0+

 зростає0спадає-2,03зростає

максимуммінімум

Приклад 2.Знайдіть точки екстремуму функції f(x) = х3 – 3х.

Розв'язання

Область визначення даної функції — R. 

Знайдемо f(x): f(x) = (x3 - 3x)' =3х2- 3. Похідна існує для всіх x є R. 

Знайдемо стаціонарні точки: f (x) = 0, 3х2 - 3 = 0, х2 — 1 = 0, x = ±1.

Наносимо область визначення та стаціонарні точки на коор¬динатну пряму (рис. 7) і визна¬чимо знак похідної на кожному проміжку:

 Рис.7

f(-2) = 3 • (-2)2 - 3 = 9 > 0;

f(0) = 3 • (0)2 - 3 = -3 < 0;

f(2) = 3 • (2)2 - 3 = 9 > 0.

Точка χ = -1 є точкою максимуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: хmax = -1.

Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: хmin = 1. 

Відповідь: хmax= -1, хmin= 1.

Приклад 3. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х4 - 4х3.

Розв'язання

Область визначення функції — R.

Знайдемо похідну: 

f(x)= (x4 – 4х3) = 4x3 – 12х2 = 4x2(х – 3). 

Знайдемо стаціонарні точки: f(x) = 0, 4x2(x – 3) = 0, x = 0 або х = 3.

Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис. 8) та визначаємо знак похідної на кож¬ному інтервалі.

 Рис.8

x = 3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+»: хmin= 3.

Точка x = 0 не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку. 

Отже, уmin = f(3) = 34 – 4 • 33 = – 27. 

Відповідь: уmin = f(3) = – 27.