Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

 
 
Телефон +3 8(068) 052-35-08
Телефон +3 8(093) 689-29-85
 (096) 672-17-75
Вконтакте Студентська консультація
 portalstudcon@gmail.com

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Звичайні диференціальні рівняння

Предмет: 
Тип роботи: 
Лекція
К-сть сторінок: 
5
Мова: 
Українська
Оцінка: 
8.1 Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння із змінними, що відокремлюються
8.2 Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
 
8.1 Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння із змінними, що відокремлюються
 
В процесі вивчення явищ природи, розв'язання важливих задач техніки, фізики, хімії, біології та інших наук, пошук зв'язку між одними величинами (функціями) і швидкостями їх зміни відносно інших (незалежних) змінних величин, приводить до складання та розв'язання рівнянь, у яких невідомі функції входять під знак похідної або диференціала. Такі рівняння називаються диференціальними рівняннями. Зупинимось на звичайних диференціальних рівняннях – рівняннях відносно функції однієї змінної y = f(x).
 
Звичайним диференціальним рівнянням називається співвідношення
 
F(x; y; y'; y''; ... ;y(n)) = 0,
 
яке пов'язує між собою незалежну змінну x, невідому функцію цієї змінної     та її похідні y'; y''; ...;y(n) (або диференціали). Функція Fвважається визначеною і неперервною в деякій області      зміни своїх аргументів.
 
Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, яка в нього входить. Наприклад,
рівняння y'+x2y + x = 0 = 0 – першого порядку, рівняння y''+xy' = ex  – другого порядку тощо.
 
Розв'язком диференціального рівняння на інтервалі (a; b) називається неперервно диференційовна функція y
= y(x), яка задовольняє умовам:
 
а) вона неперервно диференційовна на (a; b) n разів;
 
б)   для всіх   ;
 
в) y(x) перетворює рівняння в тотожність.
 
Наприклад, функція y = sin x + cos x  є розв'язком рівняння y'' + y = 0. Справді, вона визначена, неперервна і неперервно диференційовна  на  інтервалі                ,  при  підстановці  значень  y та  y'' в  дане  рівняння  воно
перетворюється в тотожність.
 
Якщо розв'язок рівняння задано неявно співвідношенням Ф(x;y) = 0, то його називають інтегралом цього рівняння.
 
Графік розв'язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.
 
Процес знаходження розв'язків називається інтегруванням диференціального рівняння. Задача інтегрування диференціального рівняння полягає в знаходженні всіх розв'язків цього рівняння і вивченні їх властивостей.
 
Диференціальні рівняння першого порядку
 
диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення
 
F(x; y; y'') = 0.
 
В ряді випадків рівняння вдається записати у вигляді
 
y' = f(x; y),
 
де f(x;y) – задана функція двох змінних.
 
Рівняння називається диференціальним рівнянням, розв'язаним відносно похідної. Рівняння першого порядку може бути задане в так званій диференціальній формі P(x; y)dx + Q (x; y)dy = 0,
 
де P(x; y) і Q (x; y)– задані функції двох змінних.
 
Для рівняння має місце теорема Коші існування і єдиності його розв'язку.
 
Теорема. Якщо в рівнянні y' = f(x; y) функція f(x; y) і її частинна похідна    неперервні в деякій області D площини XOY, яка містить точку (x0; y0), то існує єдиний розв'язок y = y(x) цього рівняння, який задовольняє умові: y = y0 при x = x0. З геометричної точки зору існує єдина функція y = y(x), графік якої проходить через точку (x0; y0).
 
Умова y = y0 при x = x0 називається початковою умовою і позначається так:   або y(x0) = y0.
 
Задача знаходження розв'язку y = y(x) диференціального рівняння, який задовольняє заданій початковій умові
y(x0) = y0, називається задачею Коші.
 
Нехай D – область на площині XOY, в кожній точці якої рівняння має єдиний розв'язок. Загальним розв'язком диференціального рівняння в області D називається функція y = y(x; C), яка задовольняє умовам:
 
а) вона є розв'язком заданого рівняння при довільних значеннях сталої C;
 
б) для будь−якої початкової умови y(x0) = y0 (точка   ) існує єдине значення сталої C = C0 , таке, що функція y = y(x; C0) задовольняє заданій початковій умові, тобто, y0 = y(x0; C0).
 
Частинним  розв'язком  диференціального  рівняння  називається  розв'язок,  отриманий  із  загального розв'язку при конкретному значенні C. Наприклад, загальним розв'язком рівняння y' = x2 є функція  
. Частинними розв'язками є   тощо.
 
Розглянемо основні типи диференціальних рівнянь першого порядку і способи їх інтегрування.
 
Рівняння з відокремлюваними змінними
 
Рівняння y' = f(x; y) називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна подати у вигляді
 
,
 
де φ(x) i ψ(y) і – функції, неперервні в області   .
 
Щоб відокремити змінні в рівнянні , помножимо  його  обидві  частини на    .  В результаті  отримаємо рівняння з відокремленими змінними
 
 ,
 
інтегруючи яке, знайдемо загальний інтеграл рівняння :
 
.
 
Фото Капча