Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 portalstudcon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Звичайні диференціальні рівняння

Предмет: 
Тип роботи: 
Лекція
К-сть сторінок: 
5
Мова: 
Українська
Оцінка: 
8.1 Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння із змінними, що відокремлюються
8.2 Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
 
8.1 Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння із змінними, що відокремлюються
 
В процесі вивчення явищ природи, розв'язання важливих задач техніки, фізики, хімії, біології та інших наук, пошук зв'язку між одними величинами (функціями) і швидкостями їх зміни відносно інших (незалежних) змінних величин, приводить до складання та розв'язання рівнянь, у яких невідомі функції входять під знак похідної або диференціала. Такі рівняння називаються диференціальними рівняннями. Зупинимось на звичайних диференціальних рівняннях – рівняннях відносно функції однієї змінної y = f(x).
 
Звичайним диференціальним рівнянням називається співвідношення
 
F(x; y; y'; y''; ... ;y(n)) = 0,
 
яке пов'язує між собою незалежну змінну x, невідому функцію цієї змінної     та її похідні y'; y''; ...;y(n) (або диференціали). Функція Fвважається визначеною і неперервною в деякій області      зміни своїх аргументів.
 
Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, яка в нього входить. Наприклад,
рівняння y'+x2y + x = 0 = 0 – першого порядку, рівняння y''+xy' = ex  – другого порядку тощо.
 
Розв'язком диференціального рівняння на інтервалі (a; b) називається неперервно диференційовна функція y
= y(x), яка задовольняє умовам:
 
а) вона неперервно диференційовна на (a; b) n разів;
 
б)   для всіх   ;
 
в) y(x) перетворює рівняння в тотожність.
 
Наприклад, функція y = sin x + cos x  є розв'язком рівняння y'' + y = 0. Справді, вона визначена, неперервна і неперервно диференційовна  на  інтервалі                ,  при  підстановці  значень  y та  y'' в  дане  рівняння  воно
перетворюється в тотожність.
 
Якщо розв'язок рівняння задано неявно співвідношенням Ф(x;y) = 0, то його називають інтегралом цього рівняння.
 
Графік розв'язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.
 
Процес знаходження розв'язків називається інтегруванням диференціального рівняння. Задача інтегрування диференціального рівняння полягає в знаходженні всіх розв'язків цього рівняння і вивченні їх властивостей.
 
Диференціальні рівняння першого порядку
 
диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення
 
F(x; y; y'') = 0.
 
В ряді випадків рівняння вдається записати у вигляді
 
y' = f(x; y),
 
де f(x;y) – задана функція двох змінних.
 
Рівняння називається диференціальним рівнянням, розв'язаним відносно похідної. Рівняння першого порядку може бути задане в так званій диференціальній формі P(x; y)dx + Q (x; y)dy = 0,
 
де P(x; y) і Q (x; y)– задані функції двох змінних.
 
Для рівняння має місце теорема Коші існування і єдиності його розв'язку.
 
Теорема. Якщо в рівнянні y' = f(x; y) функція f(x; y) і її частинна похідна    неперервні в деякій області D площини XOY, яка містить точку (x0; y0), то існує єдиний розв'язок y = y(x) цього рівняння, який задовольняє умові: y = y0 при x = x0. З геометричної точки зору існує єдина функція y = y(x), графік якої проходить через точку (x0; y0).
 
Умова y = y0 при x = x0 називається початковою умовою і позначається так:   або y(x0) = y0.
 
Задача знаходження розв'язку y = y(x) диференціального рівняння, який задовольняє заданій початковій умові
y(x0) = y0, називається задачею Коші.
 
Нехай D – область на площині XOY, в кожній точці якої рівняння має єдиний розв'язок. Загальним розв'язком диференціального рівняння в області D називається функція y = y(x; C), яка задовольняє умовам:
 
а) вона є розв'язком заданого рівняння при довільних значеннях сталої C;
 
б) для будь−якої початкової умови y(x0) = y0 (точка   ) існує єдине значення сталої C = C0 , таке, що функція y = y(x; C0) задовольняє заданій початковій умові, тобто, y0 = y(x0; C0).
 
Частинним  розв'язком  диференціального  рівняння  називається  розв'язок,  отриманий  із  загального розв'язку при конкретному значенні C. Наприклад, загальним розв'язком рівняння y' = x2 є функція  
. Частинними розв'язками є   тощо.
 
Розглянемо основні типи диференціальних рівнянь першого порядку і способи їх інтегрування.
 
Рівняння з відокремлюваними змінними
 
Рівняння y' = f(x; y) називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна подати у вигляді
 
,
 
де φ(x) i ψ(y) і – функції, неперервні в області   .
 
Щоб відокремити змінні в рівнянні , помножимо  його  обидві  частини на    .  В результаті  отримаємо рівняння з відокремленими змінними
 
 ,
 
інтегруючи яке, знайдемо загальний інтеграл рівняння :
 
.
 
Зауваження. Поставивши умову ψ(y) ≠ 0 при всіх y = (c; d), ми можемо втратити ті розв'язки, при яких ψ(y) =
0. Дійсно, якщо ψ(y) = 0 при   , то функція−константа y = y0, очевидно, є розв'язком рівняння , а тому його загальний розв'язок (інтеграл) в області D складається з розв'язку рівняння при ψ(y) ≠ 0  і розв'язку y
= y0.
 
Нехай рівняння з відокремлюваними змінними задано в диференціальній формі
 
P(x)Q(y)dx + R(x)S(y) = 0 ,
 
де P(x), Q(y)dx, R(x), S(y)– деякі неперервні функції при   .
 
Відокремлюючи в рівнянні змінні і інтегруючи, отримаємо загальний інтеграл цього рівняння:YYYY
 
,
 
 
R(x) ≠ 0, Q(y) ≠ 0.
 
Приклад 5.1. Проінтегрувати рівняння:
 
а)   ; б).
 
Розв'язання. а)  Передусім  зазначимо,  що  права  частина даного  рівняння  –  функція    – та  її частинна  похідна    неперервні  в  області                                                                                тобто,  в  цій області виконуються умови теореми Коші. Запишемо дане рівняння у вигляді   . Відокремлюючи змінні та інтегруючи, будемо мати:
 
,
 
звідки  . Отримана функція є загальним розв'язком рівняння в області D. Дане рівняння має також розв'язок y = 0, який входить в загальний розв'язок при C = 0.
 
б) В даному  випадку  потрібно  знайти частинний  розв'язок,  який  задовольняє вказаній початковій  умові.
Функція  P(x)  =  tgxнеперервна  при  всіх    .  Отже,  дане  рівняння  визначене  в  області
 
.  Поділивши  рівняння  на  y ≠  0  і  проінтегрувавши,  отримаємо:
 
 
,  звідки    або  y  =  C•cosx.  Це  і  є  загальний  розв'язок  даного рівняння в області D. Рівняння має також розв'язок y = 0, який входить в загальний розв'язок при C = 0.
 
Використовуючи початкову умову, знайдемо C = −2  і шуканий частинний розв'язок y = −2cosx. Цей розв'язок для даної початкової умови є єдиним.
 
8.2. Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
 
Однорідні рівняння
 
Функція  f(x;  y) називається  однорідною  функцією  виміру  k,  якщо  для   всіх     .
Наприклад,функція  єоднорідноюфункцієюдругоговиміру,томущо
;   функція     є   однорідноюфункцієюнульового виміру, тому що
 
.
 
Рівняння y'  =  f(x; y) називається однорідним, якщо його права  частина –  функція f(x; y)  –  є однорідною функцією нульового виміру.
 
Рівняння P(x; y)dx + Q (x; y)dy = 0 є однорідним тоді, коли функції P(x; y) і Q (x; y)– однорідні функції одного і того ж виміру.
 
Підстановкою y = U•x, y' = U'•x + U, , де U – деяка невідома функція від x, однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними, проінтегрувавши яке, знайдемо функцію U = U(x, C) і, отже, загальний розв'язок y = y(x; C) однорідного рівняння.
 
Приклад 5.2. Проінтегрувати рівняння:
 
а)   ;б)   .
 
Розв'язання. а) права частина рівняння – функція                        – та її частинна похідна   неперервні в області                                                                          .
 
Використовуючипідстановкуy=U•x,y'=U'•x+U,отримаємо:
 
. Інтегруючи, будемо мати: U = ln|x|+lnC  або U = ln|C•x|.
 
Підставляючи замість U його значення, знайдемо загальний розв'язок y = x•ln|C•x| даного рівняння в області
 
D.
 
б) Дане рівняння визначене в такій же області, як і попереднє рівняння. Вводячи заміну y = U•x, dy = xdU +
 
Udx,   отримаємо  рівняння  або.
 
Інтегруючи, дістанемо: ln|x| + sinU = C. Враховуючи, що   , будемо мати: ss. Це співвідношення визначає собою загальний інтеграл даного рівняння в області D.
 
Лінійні рівняння і рівняння типу Бернуллі
 
Лінійним рівнянням називається рівняння
 
.
 
Рівняння
 
,
 
де  , називається рівнянням типу Бернуллі.
 
Якщо функції  P(x) та  Q(x) неперервні  при    ,  то  в  області    для рівнянь і при   виконуються умови теореми Коші.
 
Загальний розв'язок як лінійного рівняння , так і рівняння типу Бернуллі шукають у вигляді y = U•V, де U, V– деякі відмінні від нуля невідомі функції від x. Одну з цих функцій можна вибирати довільно, друга ж функція визначається вибором першої функції та структурою даного рівняння. Зазначимо, що рівняння Бернуллі при n >
0 завжди має розв'язок y = 0.
 
Приклад 5.3. Проінтегрувати рівняння:
 
а)   ;б)   .
 
Розв'язання. а) Функції P(x) = tgx та   неперервні при   .
 
Покладемо y = U•V, y' = U'•V + U•V'. Тоді рівняння набуде вигляду:
 
 
або. (*)
 
 
Виберемо функцію U ≠ 0 так, щоб U' + U•tgx = 0. Проінтегруємо отримане рівняння:
,  звідси  один  з  розв'язків  U  =  cos  x.  Підставляючи  знайдене значення  U в  рівняння   (*),  будемо  мати:.   Шуканий  загальний
 
розв'язок даного рівняння.
 
б) Дане рівняння є рівнянням типу Бернуллі. Воно має тривіальний розв'язок y = 0 . Умови теореми Коші виконуються в області   .
 
Покладемо  y  =  U•V,  y'   =   U'•V  +  U•V'.  В  результаті  отримаємо  рівняння     або
               . (*)
 
Виберемо функцію U так, щоб   .
Інтегруючи одержане рівняння, будемо мати:. Підставляючи знайдене  значення  U в   рівняння(*),отримаємо:.
 
Шуканий в області D загальний розв'язок рівняння має вигляд:
.
Фото Капча