Звичайні диференціальні рівняння

0. Дійсно, якщо ψ(y) = 0 при   , то функція−константа y = y0, очевидно, є розв'язком рівняння , а тому його загальний розв'язок (інтеграл) в області D складається з розв'язку рівняння при ψ(y) ≠ 0  і розв'язку y

= y0.

 

Нехай рівняння з відокремлюваними змінними задано в диференціальній формі

 

P(x)Q(y)dx + R(x)S(y) = 0 ,

 

де P(x), Q(y)dx, R(x), S(y)– деякі неперервні функції при   .

 

Відокремлюючи в рівнянні змінні і інтегруючи, отримаємо загальний інтеграл цього рівняння:YYYY

 

,

 

 

R(x) ≠ 0, Q(y) ≠ 0.

 

Приклад 5.1. Проінтегрувати рівняння:

 

а)   ; б).

 

Розв'язання. а)  Передусім  зазначимо,  що  права  частина даного  рівняння  –  функція    – та  її частинна  похідна    неперервні  в  області                                                                                тобто,  в  цій області виконуються умови теореми Коші. Запишемо дане рівняння у вигляді   . Відокремлюючи змінні та інтегруючи, будемо мати:

 

,

 

звідки  . Отримана функція є загальним розв'язком рівняння в області D. Дане рівняння має також розв'язок y = 0, який входить в загальний розв'язок при C = 0.

 

б) В даному  випадку  потрібно  знайти частинний  розв'язок,  який  задовольняє вказаній початковій  умові.

Функція  P(x)  =  tgxнеперервна  при  всіх    .  Отже,  дане  рівняння  визначене  в  області

 

.  Поділивши  рівняння  на  y ≠  0  і  проінтегрувавши,  отримаємо:

 

 

,  звідки    або  y  =  C•cosx.  Це  і  є  загальний  розв'язок  даного рівняння в області D. Рівняння має також розв'язок y = 0, який входить в загальний розв'язок при C = 0.

 

Використовуючи початкову умову, знайдемо C = −2  і шуканий частинний розв'язок y = −2cosx. Цей розв'язок для даної початкової умови є єдиним.

 

 

Однорідні рівняння

 

Функція  f(x;  y) називається  однорідною  функцією  виміру  k,  якщо  для   всіх     .

Наприклад,функція  єоднорідноюфункцієюдругоговиміру,томущо

;   функція     є   однорідноюфункцієюнульового виміру, тому що

 

.

 

Рівняння y'  =  f(x; y) називається однорідним, якщо його права  частина –  функція f(x; y)  –  є однорідною функцією нульового виміру.

 

Рівняння P(x; y)dx + Q (x; y)dy = 0 є однорідним тоді, коли функції P(x; y) і Q (x; y)– однорідні функції одного і того ж виміру.

 

Підстановкою y = U•x, y' = U'•x + U, , де U – деяка невідома функція від x, однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними, проінтегрувавши яке, знайдемо функцію U = U(x, C) і, отже, загальний розв'язок y = y(x; C) однорідного рівняння.

 

Приклад 5.2. Проінтегрувати рівняння:

 

а)   ;б)   .

 

Розв'язання. а) права частина рівняння – функція                        – та її частинна похідна   неперервні в області                                                                          .

 

Використовуючипідстановкуy=U•x,y'=U'•x+U,отримаємо:

 

. Інтегруючи, будемо мати: U = ln|x|+lnC  або U = ln|C•x|.

 

Підставляючи замість U його значення, знайдемо загальний розв'язок y = x•ln|C•x| даного рівняння в області

 

D.

 

б) Дане рівняння визначене в такій же області, як і попереднє рівняння. Вводячи заміну y = U•x, dy = xdU +

 

Udx,   отримаємо  рівняння  або.

 

Інтегруючи, дістанемо: ln|x| + sinU = C. Враховуючи, що   , будемо мати: ss. Це співвідношення визначає собою загальний інтеграл даного рівняння в області D.

 

Лінійні рівняння і рівняння типу Бернуллі

 

Лінійним рівнянням називається рівняння

 

.

 

Рівняння

 

,

 

де  , називається рівнянням типу Бернуллі.

 

Якщо функції  P(x) та  Q(x) неперервні  при    ,  то  в  області    для рівнянь і при   виконуються умови теореми Коші.

 

Загальний розв'язок як лінійного рівняння , так і рівняння типу Бернуллі шукають у вигляді y = U•V, де U, V– деякі відмінні від нуля невідомі функції від x. Одну з цих функцій можна вибирати довільно, друга ж функція визначається вибором першої функції та структурою даного рівняння. Зазначимо, що рівняння Бернуллі при n >

0 завжди має розв'язок y = 0.

 

Приклад 5.3. Проінтегрувати рівняння:

 

а)   ;б)   .

 

Розв'язання. а) Функції P(x) = tgx та   неперервні при   .

 

Покладемо y = U•V, y' = U'•V + U•V'. Тоді рівняння набуде вигляду:

 

 

або. (*)

 

 

Виберемо функцію U ≠ 0 так, щоб U' + U•tgx = 0. Проінтегруємо отримане рівняння:

,  звідси  один  з  розв'язків  U  =  cos  x.  Підставляючи  знайдене значення  U в  рівняння   (*),  будемо  мати:.   Шуканий  загальний

 

розв'язок даного рівняння.

 

б) Дане рівняння є рівнянням типу Бернуллі. Воно має тривіальний розв'язок y = 0 . Умови теореми Коші виконуються в області   .

 

Покладемо  y  =  U•V,  y'   =   U'•V  +  U•V'.  В  результаті  отримаємо  рівняння     або

               . (*)

 

Виберемо функцію U так, щоб   .

Інтегруючи одержане рівняння, будемо мати:. Підставляючи знайдене  значення  U в   рівняння(*),отримаємо:.

 

Шуканий в області D загальний розв'язок рівняння має вигляд:

.