Асимптотичні методи в задачах імовірнісної комбінаторики

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 25 наукових праць (з яких одна монографія), отримано 3 авторських свідоцтва; 22 роботи з них наведені в авторефераті. Автор виконав більше 80 наукових звітів (більшу частину з них самостійно).

Особистий внесок автора. У монографії [1] автором написані глави 5, 6 і 7. У роботах [11, 14, 20, 22] йому належить кінцеве формулювання алгоритму і розробка асимптотичних результатів; у роботах [12, 15-17] – теоретичне обґрунтування алгоритмів, розробка методу пошуку початкових точок, фізична інтерпретація результатів; у роботі [10] формулювання основних положень статистичного алгоритму; інші роботи автор написав самостійно.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновку, додатку та списку літератури і вміщує 303 сторінки основного тексту. Загальний обсяг роботи 329 сторінок, список літератури налічує 405 найменування.

Вважаю приємним обов'язком висловити щиру вдячність своєму вчителю – академіку НАН України І. М. Коваленку за постійну увагу до даного дослідження, за ті сприятливі до творчої роботи умови, що створені ним у відділі математичних методів теорії надійності складних систем Інституту кібернетики ім. В. М. Глушкова НАН України. Я глибоко вдячний члену-кореспонденту НАН України М. Й. Ядренку за незмінний інтерес до моїх наукових результатів. Хочу подякувати всім моїм колегам, співробітникам відділу за корисні критичні зауваження, підтримку та допомогу у виконанні й оформленні даної роботи.

 

 

Вступ. Аналізується стан проблеми, обґрунтовується актуальність, практична і теоретична цінність тематики, що досліджується. Виділяється коло основних задач, визначаються мета та загальна методика дослідження, описується структура дисертації.

Розділ 1. Вступ до проблематики. Огляд: напрямки ймовірнісної комбінаторики, випадкові розміщення. У §1. 1 впроваджуються основні комбінаторні поняття, наводяться посилання; обговорюється і порівнюється математична термінологія для таких найбільш важливих комбінаторних схем, як розміщення частинок по ячейкам, вибірки або урнові схеми, відображення скінченних множин. У §1. 2 визначаються основні задачі та напрямки ймовірнісної комбінаторики; §1. 3 – 1. 6 присвячені огляду літератури з теорії випадкових розміщень за останні півтора десятиріччя, який доповнює огляди В. Ф. Колчина, В. П. Чистякова (ВІНІТІ, 1974), В. А. Іванова, Г. І. Івченка, Ю. І. Медведєва (ВІНІТІ, 1984) та огляди у главах монографії В. Ф. Колчина, Б. А. Севастьянова, В. П. Чистякова «Випадкові розміщення» (1976). Перелічуються також напрямки узагальнень і методи досліджень задач з випадковими розміщеннями. У §1. 7 наводяться відомості про ймовірності великих відхилень, що часто використовуються в асимптотичних дослідженнях з ймовірнісної комбінаторики.

Розділ 2. Дослідження моментів та розподілу випадкових величин у схемах розміщення частинок комплектами. Один з напрямків, які узагальнюють класичну схему випадкового рівноймовірного незалежного розміщення частинок поодинці, вивчає різноманітні схеми розміщення частинок комплектами – важливий вид залежного розміщення. Насамперед, це рівноймовірна схема розміщення частинок комплектами, що описується на початку §2. 1: в   ячейках розміщується   комплектів частинок по   частинок в кожному так, що в кожному окремому комплекті частинки розміщуються в ячейках не більше ніж поодинці й усі   можливих розміщень рівноймовірні, а розміщення частинок у різних комплектах незалежні. (Якщо  , то маємо класичну схему розміщення). Позначимо:   – випадкова величина, рівна числу ячейок, що містять рівно   частинок після розміщення усіх   комплектів;   – випадкова величина, рівна числу ячейок, що містять не більше ніж   частинок кожна після розміщення  комплектів;   – випадкова величина, рівна найменшому числу розміщених комплектів, за якого вперше у деяких   ячейках міститься не менше ніж по   частинок.

Далі будемо позначати:   – ціла частина дійсного числа  ,  ,  ;   – скалярний добуток векторів   та   з дійсними координатами;   – символ Кронекера.

У §2. 1, 2. 2 виводяться скінченні та асимптотичні (при   і різноманітних співвідношеннях параметрів схеми) формули для сумісних факторіальних моментів   випадкових величин  , для  , сумісних моментів  , а також скінченні формули для сумісних моментів другого порядку подільних статистик. У §2. 3 метод моментів і знайдені раніше асимптотичні співвідношення використовуються для доведення граничних теорем виродженого та пуассонівського типів для випадкових величин в задачі рівноймовірного розміщення комплектів.

У §2. 4 досліджується апроксимація для багатовимірного гіпергеометричного розподілу з випадковими параметрами та метод математичної індукції при доведенні гауссівських граничних теорем у задачі розміщення частинок комплектами. Наведемо основні результати.

Випадковий вектор   з цілочисловими координатами має гіпергеометричний розподіл, якщо  , де   цілі невід'ємні числа та  ,   .

Теорема 2. 4. 2. Якщо при невипадковому  ,   випадковий вектор  ,   асимптотично нормальний з математичним сподіванням  ,  ,   та коваріаційною матрицею  ,  , то випадковий вектор  , що має при реалізації   зазначений вище гіпергеометричний розподіл, також буде нормальним з математичним сподіванням   та коваріаційною матрицею  .

Теореми 2. 4. 1 та 2. 4. 2 дали змогу довести асимптотичну нормальність