Асимптотичні методи в задачах імовірнісної комбінаторики

  – число ячейок серед перших  , що містять рівно по   частинок кожна,  ;

  – число частинок у  -му комплекті, що влучили в перші   ячейок,  

  – загальне число частинок, що влучили в перші   ячейок після розміщення всіх частинок,  ;

де   – ціла частина дійсного числа  .

Нехай   позначає  -вимірний простір функцій без розриву другого роду з рівномірною топологією, а   – стандартний  -вимірний процес. У §3. 2, 3. 3 запропонована методика застосовується для дослідження слабкої збіжності випадкових процесів першого типу   та другого типу   і   у просторах   і   відповідно до гауссівських дифузійних процесів. Знаходяться характеристики граничних процесів.

У §3. 4 у схемі розміщення комплектів частинок із випадковими рівнями, що введена вище в §2. 5, розглядаються випадкові процеси  ;   – число ячейок серед перших   ячейок, що містять після розміщення   комплектів кількість частинок з перших   комплектів не меншу, ніж із останніх  , та нормований процес  

Теорема 3. 4. 1. Якщо при деяких цілих     то послідовність випадкових процесів   слабко збігається на відрізку   у просторі   до гауссівського дифузійного процесу   з нульовим середнім, матрицею кореляційних функцій  , вектором переносу  , оператором дифузії  . Усі  -матриці  ,  ,   знайдені в явному вигляді. Граничний процес може бути поданий у вигляді  , де   – одинична  -матриця.

Як наслідок з теореми 3. 4. 1 випливає твердження про асимптотичну нормальність при  ,    ,   випадкових величин   та   у даній схемі розміщення частинок комплектами з випадковими рівнями.

У наступному §3. 5 доводиться принцип інваріантності для випадкових процесів, пов'язаних зі статистикою хі-квадрат у класичній схемі розміщення.

Параграф 3. 6 присвячено дослідженню збіжності векторних випадкових процесів, пов'язаних з подільними статистиками, в нерівноймовірних схемах розміщення. Розглянемо регулярну схему незалежного розміщення   частинок у   занумерованих ячейках: кожна частинка незалежно від інших з ймовірністю   влучає в ячейку з номером   при  ,   виконуються нерівності   Нехай при достатньо великих   існує неперервна щільність розподілу ймовірностей   на відрізку   така, що     Нехай також для   задано послідовність функцій       таку, що   рівномірно по  ,   функції   неперервні по   при кожному   Введемо на відрізку   сукупність випадкових процесів другого типу   де   – число частинок, що містяться у  -ій ячейці після розміщення усіх   частинок;   За деяких додаткових умов щодо властивостей сукупності функцій     має місце таке твердження.

Якщо при деякому цілому       (а також виконуються певні умови на функції    ), то послідовність випадкових процесів   на відрізку   слабко збігається в просторі   до гауссівського дифузійного процесу   з нульовим математичним сподіванням, вектором переносу       – вектор-стовпчик, та оператором дифузії  , де       в інших випадках;    ,     а   – пуассонівські випадкові величини з параметром  

Граничний  -вимірний випадковий процес   задовольняє стохастичному диференціальному рівнянню   і може бути поданий у вигляді   де   –  -вимірний стандартний вінерівський процес,   – фундаментальна матриця розв'язків стохастичного диференціального рівняння.

В останньому §3. 7 третього розділу обговорюються деякі висновки і застосування доведених функціональних граничних теорем та запропонованого методу дослідження. Безпосередні висновки щодо асимптотичного розподілу відповідних випадкових векторів у різних схемах розміщення наведені у §3. 2-3. 6. Доведення цих результатів, як наслідків раніше отриманих згідно з наведеною методикою функціональних граничних теорем, можна розглядати як ще один загальний метод отримання багатовимірних гауссівських граничних теорем.

Приклад застосування функціональних граничних теорем до схем розміщення випадкового числа частинок дається у теоремі 3. 7. 1. Нехай у ячейках, що мають номери  , розміщується випадкове число   частинок; після реалізації   кожна частинка незалежно від інших з ймовірністю   займе будь-яку з   ячейок. Невід'ємна цілочислова величина   асимптотично при    розподілена за нормальним законом з середнім   та дисперсією  ,  . Тоді для статистики хі-квадрат  , де   – число частинок, що містяться у  -й ячейці після розміщення   частинок, з результатів §3. 5 випливає наступна теорема.

Теорема 3. 7. 1. Якщо  , то випадкова величина   у схемі незалежного розміщення випадкового числа частинок   має нормальний граничний розподіл з параметрами  .

У цій схемі розміщення випадкового числа частинок при   буде виконуватись також функціональна гранична теорема аналогічна теоремі 3. 5. 1.

Оскільки граничні теореми для випадкових процесів другого типу дозволяють природним чином знаходити характеристики приросту процесів на будь-яких відрізках, то з доведених теорем можна діставати характеристики відповідних випадкових величин, що визначаються заповненням частинок на певних підмножинах ячейок. Наприклад, для випадкової величини  , що введена у §2. 7, при    ,   як наслідок слабкої збіжності випадкових процесів буде справедлива відповідна нормальна гранична теорема. З останньої у §3. 7 виводиться ще один результат щодо асимптотичного розподілу досліджуваної в §2. 7 випадкової