Двовимірний скінченноелементний аналіз контактних задач із врахуванням теплообміну

Область S, яку займають тіла, представлена об’єднанням підобластей, частина з яких описується функціоналом осесиметричної, а частина  функціоналом плоскої задачі в рамках плоского напруженого стану чи плоскої деформації. На контурі припускаються відомими граничні умови теплообміну, а також компоненти переміщень чи напружень, або ж формулюються змішані граничні умови, які з часом можуть змінюватися. При розв’язанні задачі враховуються об’ємні джерела тепла, об’ємні сили від обертання конструкції навколо осі z з швидкістю  (t), інерційні сили, викликані осьовим прискоренням w (t) та деформації, викликані зміною температурного поля T (t, r, z)  T (0, r, z).

Кожна підобласть представляє собою чотирикутник з прямолінійними чи криволінійними сторонами, які автоматизовано дискретизуються на скінченні елементи, має свої властивості матеріалу (ізотропні чи анізотропні), що можуть залежати від температури. Зони можливої контактної взаємодії представляються одновимірними термоконтактними елементами нульової товщини. Поверхню контакту визначає геометрія взаємодіючих підобластей, а також початковий зазор чи натяг між ними. Контакт між елементами здійснюється за допомогою “контактного шару”, причому взаємодія відбувається вузел у вузел, накладаючи обмеження на зміщення контактуючих тіл по дотичній вздовж меридіану поверхні контакту.

Термоопір і умови теплообміну в термоконтактному елементі зв’язані з рішенням задачі механіки, тобто визначаються наявністю чи відсутністю контакту, і залежать від контактного тиску. Особливою рисою елементу є його здатність, при наявності тертя, “відсліджувати” історію навантаження, тобто момент (крок за часом) вступу точки в контакт і напрямок її просковзування, а також враховувати тепловиділення за рахунок сил тертя.

Початкові умови визначаються постійним чи змінним температурним полем, яке може бути задане або ж одержане в результаті розв'язку стаціонарної задачі теплопровідності з заданими в початковий момент часу граничними умовами, а також орієнтовним розподілом контактного тиску у початковій зоні контакту, що визначає теплопередачу між тілами та уточнюється при розв‘язанні задачі.

Граничні умови теплообміну задаються по ділянкам для декількох підряд розташованих елементів і можуть змінюватися з часом. Причому на деяких з них може бути заданий тепловий потік чи теплоізоляція (граничні умови другого роду), на інших  температура середовища і коефіцієнт теплообміну (граничні умови третього роду), а також теплообмін випроміненням по закону Стефана-Больцмана. Між спільними межами підобластей, де контактна взаємодія відсутня, але можлива її поява, задаються умови другого чи третього роду, які входять у властивості контактного шару. Теплообмін між тілами визначається контактним термічним опором, що залежить від контактного тиску по лінійному закону, чи одержується за методикою, викладеною в роботі Ю. П. Шликова, Б. А. Ганіна і С. М. Царевського. Проведено дослідження залежності значення контактної теплопровідності і перепаду температур на взаємодіючих поверхнях від величини навантаження, висоти мікрошорсткості та теплопровідності середовища.

Механічна взаємодія поверхонь, що контактують, визначається величиною їх взаємного проникання. У механічні властивості контактного шару вводиться контактна жорсткість Cn, величина якої на кілька порядків вища, ніж жорсткість базових скінченних елементів. Контактні напруження одержуються за виразом:

 

де    переміщення контактних поверхонь в напрямку спільної нормалі  , -n  початковий зазор чи натяг (при -n<0) між ними.

При наявності між взаємодіючими поверхнями тертя з коефіцієнтом fтр, вводиться дотична жорсткість C-, що перешкоджає взаємному переміщенню контактуючих точок в напрямку дотичної   до поверхні контакту. Дотичні напруження визначаються за співвідношенням:

 

потім перевіряється умова просковзування

 

при виконанні якої, дотичні напруження визначаються за формулою:

 

На протязі кількох ітерацій рішення уточнюється за рахунок встановлення зон контакту і просковзування, визначення контактних нормальних і дотичних напружень, контактної термопровідності.

В задачі механіки враховуються пружні, температурні, пластичні деформації і деформації повзучості. Фізичний закон описується теорією ізотропної чи анізотропної пружності, теорією пластичності типу течії з ізотропним зміцненням і теорією анізотропної повзучості з анізотропним зміцненням. Зв’язок між переміщеннями і деформаціями описується залежностями Коші. Для рішення задачі механіки МСЕ для двовимірних підобластей в кінці поточного кроку використовується лінеаризоване рівняння Лагранжа в інкрементальній формі:

 

де S0, L0  площа і межа меридіонального перетину тіла в початковому стані,    компоненти повного тензора напружень і тензора приросту напружень, взяті у напрямку деформованих координат і віднесені до розмірів об’ємного елементу до деформації, F, -F  компоненти об’ємного навантаження у зміненому стані і приросту цього навантаження, P, -P  відповідно компоненти поверхневого навантаження.

Початково-крайова зв’язана задача термомеханіки вирішується методом кроків за часом. При інтегруванні задачі теплопровідності використовується неявна стійка схема Кренка-Ніколсона:

 

Нестаціонарна нелінійна задача теплопровідності для двовимірних областей описується для поточного моменту часу за допомогою функціоналу

 

Для контактного елементу використовується функціонал:

 

  , i=1, 2

 

де Kn  величина контактної теплопровідності шару, Q=nvfтр  інтенсивність внутрішнього джерела тепла, що виникає за рахунок швидкості v відносного просковзування контактних поверхонь при терті, q, T,   заданий тепловий потік, температура середовища і коефіцієнт теплообміну, r0  відстань від точки контакту до осі z для осесиметричної задачі, для плоскої 