Двовимірний скінченноелементний аналіз контактних задач із врахуванням теплообміну

Матриці контактного елементу одержуються з умови рівності нулю варіації функціоналу. Розподіл температур для обох тіл представляється

 

 ;  ,

 

де Til  вузлові значення температури, i ()  координатні функції.

Із врахуванням цих співвідношень одержано систему рівнянь задачі теплопровідності для термоконтактного скінченного елементу. Інтеграли обчислюються чисельно за допомогою двохточкових квадратур Гаусса.

При рішенні задачі механіки вводиться варіація енергії деформування контактного шару

 

  при  

 

де другий доданок відповідає відсутності просковзування в зоні контакту:

 

При наявності сил тертя, замість нього вводиться робота цих сил:

 

Переміщення в місцевій системі координат визначаються через переміщення в глобальній за співвідношеннями:

 

де   кут між віссю z і дотичною до меридіану контактної поверхні.

Напруження взаємодії визначаються:

 

 ;

  (при зчепленні)

  (при просковзуванні)

 

Аналогічно, з умови рівності варіації функціоналу до нуля, одержуються коефіцієнти матриці контактного елементу задачі механіки.

При формуванні системи рівнянь застосовано звичайну процедуру МСЕ, матриці термоконтактного скінченного елементу не вносять ніяких особливостей. Розв’язок системи дозволяє визначити НДС у вузлах конструкції на кожному кроці за часом.

Розробка математичного забезпечення для розв’язку термоконтактних задач здійснена на базі створеного в ІПМаш НАН України програмного комплексу KROK, що реалізує покроковий метод рішення нестаціонарних і стаціонарних задач термомеханіки. Крім можливості виходу на задачу теплопровідності і (чи) механіки на кожному кроці з довільним числом ітерацій, для нестаціонарних задач передбачена можливість почергового розрахунку кожної з задач після кожної ітерації протягом одного кроку. Для покращення збіжності методу задаються початкові значення контактних напружень, які обновлюються уточненими після кожної ітерації, і коефіцієнти усереднення контактного тиску.

У третьому розділі розглянуто особливості алгоритму рішення нелінійних стаціонарних і нестаціонарних термоконтактних задач, а також питання щодо можливості моделювання термомеханічних явищ у різноманітних конструкціях. Для всебічної перевірки методики та для демонстрації її можливостей розглянуто широкий клас задач: з відомими і невідомими областями контакту, взаємодію тіл з ізотропних і анізотропних матеріалів тощо. Результати порівнювались з відомими аналітичними рішеннями і чисельними результатами, одержаними А. М. Підгорним, П. П. Гонтаровським, Ю. І. Матюхіним, Б. М. Кіркачем, Г. Л. Хавіним та ін. Ці ж задачі розглянуто також в більш складних, уточнених постановках з врахуванням теплообміну через зони контакту. Точність результатів контролювалась їх співпаданням при різній просторовій і часовій дискретизації.

На прикладі задачі про вдавлювання гладкого осесиметричного штампу в пружний шар, продемонстровано можливість моделювання різних постановок задач: задавати плоский індентор і зазор у вигляді параболи, або ж сферичну поверхню індентора і плоский шар. Результати порівнювались з аналітичним рішенням, одержаним В. М. Александровим, та чисельними результатами. Розбіжність не перевищує 6%.

Перевірку вірогідності розрахунків задач із врахуванням тертя здійснено на прикладі конструкції, яка складається з двох однорідних плоских ізотропних підобластей, що контактують між собою. Задача розв’язувалась для різних варіантів дискретизації конструкції, при ідеальному просковзуванні і сухому терті з коефіцієнтами 0, 3 і 0, 4. Результати узгоджуються з відомими в літературі (зона контакту співпадає з точністю до одного елементу), збіжність методу досить висока, необхідна точність досягається за 2-3 ітерації. Деякі відмінності в значеннях і характері розподілу контактних напружень пояснюються спроможністю алгоритму відсліджувати історію навантаження і точно фіксувати моменти входження в контакт і моменти відриву, що важливо при моделюванні реальних технологічних процесів.

Працездатність комплексу при розрахунках конструкцій, що підлягають дії високих температур, розглядалась при розв’язанні осесиметричної термоконтактної задачі з врахуванням повзучості. Рішення добре узгоджується з відомим, невелику розбіжність можна пояснити неспівпаданням у розбивці на скінченні елементи. Оскільки в даній роботі дискретизацію виконано більш детально, можна стверджувати, що одержана картина НДС точніше відповідає реальній.

Розглянуті задачі в уточнених постановках з врахуванням теплообміну між дотичними поверхнями показали, що температурні деформації суттєво впливають на характер розподілу і величину контактних напружень.

У роботі розглянуто розрахунок плоскопаралельного конічного ілюмінатора, що складається із стальної обойми і склоелементу з органічного чи неорганічного скла. Результати порівнювались з даними, одержаними методом граничних елементів, і мали невелику розбіжність. Для цієї ж конструкції розглянуто температурну задачу для нової, більш коректної розрахункової схеми. Розподіл стаціонарного температурного поля наведено на рис. 1. Нестаціонарна задача розв’язана для двох випадків: а) без врахування теплообміну в зоні контакту з зовнішнім середовищем; б) з врахуванням теплообміну. Початкова температура апарата приймалась рівною 40°С, води – 4°С Розподіл контактного тиску на склоелементі у різні моменти часу при занурюванні ілюмінатора у воду на глибину h зображено на рис. 2. В перші 240 с, внаслідок нерівномірного охолодження з внутрішньої та зовнішньої сторін, взаємодія спостерігається не по всій довжині АВ. Спочатку поверхні контактують в точці А, потім – в точці В, через 250 с – по всій поверхні. При досягненні глибини 200 м розподіл контактного тиску носить більш нерівномірний характер, ніж на стаціонарному режимі (крива 4). Одержані результати показують, що навіть незначні температурні перепади можуть суттєво впливати на НДС склоелементів.

Таким чином, проведені дослідження показують, що розроблена методика і програмне забезпечення дають змогу одержувати достовірні результати