Дискретна апроксимація за критерієм найменшого граничного відхилення

Практичне значення отриманих результатів. Практична цінність виконаних досліджень полягає в підвищенні точності моделювання за рахунок запобігання осциляції, одержанні більш досконалих моделей, що відкривають можливості економії матеріальних і фінансових ресурсів.

Запропоновані в роботі способи і їхня програмна реалізація прийняті до впровадження в ЗАТ СП “АвтоЗАЗ-ДЕУ” (м. Запоріжжя) для конструювання лінійних обводів кузовних поверхонь і математичної обробки експериментальних даних; в АТ “МК” “Азовсталь” (м. Маріуполь) для обробки статистичних даних і прогнозування економічних показників об'єднання; у Мелітопольскому районному управлінні сільського господарства для побудови моделей прогнозування середньої по району врожайності сільськогосподарських культур і рішення оптимізаційних задач з урахуванням ефективності використання матеріальних ресурсів; впроваджені в навчальному процесі Приазовського державного технічного університету (м. Маріуполь).

Особистий внесок здобувача. Особисто автором розроблені теоретичні основи і складені алгоритми побудови НГВ-рішення для дискретно поданих кривих за запропонованими у роботі способами. Конкретний внесок у наукових статтях складається в розробці нового поняття опорних дискретно поданих кривих і формуванні на цій основі нових способів їх дискретної апроксимації за критерієм НГВ.

Апробація результатів дисертації здійснювалась на V Міжнародній науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Мелітополь, 1998), основні положення дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на щорічних науково-методичних конференціях ТДАТА (Мелітополь, 1997, 1998, 1999), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної і комп'ютерної графіки КНУБА під керівництвом акад. Михайленка В. Є. (Київ, 1999), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії НТУУ «КПІ» під керівництвом акад. Павлова А. В. (м. Київ, 1999), на науковому семінарі кафедри нарисної геометрії ДонДТУ під керівництвом проф. Скидана І. А. (Донецьк, 1998).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 6 друкарських робіт у міжвузівських і вузівських збірках наукових праць, дозволених ВАК України.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел з 188 найменувань. Робота містить 144 сторінки машинописного тексту, 41 малюнок, 20 таблиць.

 

 

У вступі розкривається зміст і стан розв'язання наукової проблеми та прикладних задач, що на ній базуються, їх значущість для науки і практики, сформульовані мета і задачі дослідження, його наукова новизна, практична цінність, рівень апробації і публікації результатів досліджень та їх впровадження в практику.

В розділі 1 розглядається аналіз відомих методів апроксимації дискретно представлених кривих.

У практиці геометричного моделювання найчастіше зустрічаються ситуації, коли вихідні дані обтяжені похибками. При цьому число точок у багато разів перевищує число параметрів моделюючої функції. Результат моделювання досягається завдяки застосуванню статистичних методів, для котрих характерна наявність функції-критерію, що визначає співвідношення між відхиленнями експериментальних і розрахункових значень.

Відзначимо два аспекти математичної обробки результатів експерименту:

моделювання з урахуванням теоретико-ймовірнісних характеристик процесу;

моделювання без урахування теоретико-ймовірнісних характеристик. Частіше усього при цьому припускається дотримання деяких критеріїв оптимізації, як наприклад, критерію НГВ.

Надалі в роботі розглядається саме другий аспект.

Обмежуючись поки що двовимірним випадком, запишемо фундаментальну систему рівнянь

 

     n (m+1), (1)

 

де   – відхилення фактичної ординати   i-ї точки від розрахункової  ; визначають за допомогою апроксимуючої функції  , що залежить від n змінних   і (m+1) параметрів  . Рішення системи з урахуванням її статистичного характеру можна досягти накладенням деяких співвідношень між відхиленнями  . Ці співвідношення і є критеріями апроксимації.

Останнім часом у роботах Найдиша В. М. виникла ідея дискретної апроксимації заданої ДПК, коли вихідний точковий ряд заміняється новим на тій же сітці за заданим критерієм, як за умови завдання виду апроксимуючої функції, так і без неї.

В роботі передбачається, що об'єктом моделювання є ДПК, що пройшла попередню підготовку (виключені аномальні точки, і, якщо необхідно, проведене згладжування).

Функції критеріїв апроксимації можуть бути такими, що диференціюються і не диференціюються. У першому випадку можна назвати критерій МНК.

Перевагами МНК є наявність чіткої, розвинутої теорії; простота алгоритмів; широке поширення в багатьох задачах практичного моделювання.

При необхідності корекції результату або урахування різноманітної точності, що супроводжує одержання значень тієї або іншої координати, уводяться вагові коефіцієнти  . Різновидом МНК із ваговими коефіцієнтами є метод найменших модулів (МНМ). Процес рішення на кожному кроці ітерацій здійснюється за алгоритмами зваженого МНК.

Недоліком МНМ є суттєве ускладнення розрахунків у порівнянні з МНК і значна нестійкість обчислювального процесу в міру наближення до рішення.

Значним кроком у розробці способів апроксимації за критерієм НСВ явилися дослідження Єпішина Ю. Г., який назвав запропонований ним спосіб методом найменших абсолютних відхилень. Рішення задачі пропонується шукати методом перебору у вихідному просторі, що призводить до надзвичайно великого обсягу обчислень, що різко зростає з ростом порядку апроксимуючої кривої.

Спроби вирішити задачу проводилися Загайтовим І. Б. Проте запропонований ним «спосіб мінімальних відхилень» не мав достатнього теоретичного обгрунтування і не давав можливості одержати шукане рішення.

Найбільш повно й ефективно згадана задача вирішена Найдишем А. В. у запропонованому ним методі найменших сумарних відхилень (НСВ). Проте і НСВ-методу властиві недоліки. Моделювання здійснюється за допомогою неперервних функцій, заданих у явному вигляді, що звужує можливості моделювання і не дає можливості ефективного запобігання осциляції рішення.

Критерій