Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (093) 202-63-01
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Дискретна апроксимація за критерієм найменшого граничного відхилення

Предмет: 
Тип роботи: 
Автореферат
К-сть сторінок: 
33
Мова: 
Українська
Оцінка: 

НГВ-апроксимації до недавніх пір також ефективного рішення не мав. Він виражається співвідношенням

 
 (2)
 
Успенським А. К. були початі спроби теоретично обгрунтувати відповідний обчислювальний метод, названий ним «методом найменших граничних відхилень», але ці спроби не привели до ефективного розрахункового алгоритму.
Дослідження Найдиша А. В. дозволили на підставі перенесення до простору параметрів виділити серединні елементи лінійних многостатностей (уяви точок множини), за допомогою яких визначаються параметри моделюючої функції в запропонованому ним методі найменших граничних відхилень (НГВ). Метод супроводжується ефективним обчислювальним алгоритмом, що дозволяє досягати заданого значення НГВ-критерія. Проте, використання неперервних функцій звужує можливості моделювання і не запобігає осциляції рішення. Дискретні представлення моделюючих функцій послабляють указані утруднення, проте цей підхід у роботах Найдиша А. В. не одержав достатнього розвитку. Відповідні дослідження надалі в роботі спрямовані на заповнення цієї прогалини.
Ряд іноземних джерел, близьких за тематикою до розглянутої задачі, на жаль, не містять нових теоретичних результатів, обмежуючись окремими обчислювально-конструктивними прийомами без належного їхнього теоретичного обгрунтування.
Серед інших статистичних методів математичної обробки експериментальних даних найбільш поширеними є метод середніх і метод Коші. На відміну від раніше згаданих, критерії цих методів не мають екстремальних властивостей.
У прикладній геометрії одержали подальший розвиток багато інших способів апроксимації. У зв'язку з проведеними дослідженнями становлять інтерес методи, що мають екстремальні цільові критерії за умови запобігання осциляції рішення (кусочно-лінійна апроксимація з заданим допуском, метод мінімізації суми відстаней від точок до кривої на основі рішення задачі квадратичного програмування). Проте, ці методи не спрямовані на запобігання осциляції, не дають можливостей побудови рівномірних наближень.
Розглядаються особливості дискретної апроксимації, закладеної у роботах акад. Найдиша В. М. Можливі таки основні напрямки розвитку теорії дискретної апроксимації:
на основі геометричних співвідношень між точками заданої ДПК;
на основі базисних функцій апроксимації.
Із аналізу відомих методів апроксимації доходимо висновку, що жодний із них не орієнтований на запобігання осциляції, тому становить інтерес розробка дискретних наближень, близьких до рівномірних, що забезпечують максимально можливе наближення і відсутність осциляції рішення, як при наявності апроксимуючої функції, так і без неї.
У розділі 2 розглядається наближення на основі дискретних характеристик заданої ДПК. Вихідною інформацією для моделювання є ДПК і її дискретні диференціальні характеристики (розділені різниці необхідного порядку).
Розглядається спосіб корекції осциляції вихідної ДПК на основі її других розділених різниць.
Нехай на рівномірній з кроком h сітці подана вихідна ДПК  , що має ділянки осциляції, де друга різниця  , (індекс вгорі означає порядок різниці, але не ступінь) має знак, протилежний тому, що глобально визначає напрямок опуклості ДПК.
Потрібно побудувати апроксимуючу ДПК   на тій ж сітці за умови, що її максимальне відхилення   фактичних точок   від розрахункових   є мінімальним з усіх можливих.
Розглянемо умову відсутності осциляції апроксимуючої ДПК. Для визначеності будемо вважати, що вона опукла униз. Тоді
 
,  . (3)
 
З урахуванням   маємо
 
,  . (4)
 
Ця нерівність є основною для подальших розглядів.
Твердження 1. Найменше з максимальних значень  , j=i-1, i, i+1, на множині усіляких відхилень, що забезпечують виконання (4) при  , має місце при   і дорівнює
 
. (5)
 
Очевидно, що при усіх   для опуклої униз вихідної ДПК, система (4) задовольняється автоматично при усіх  .
Твердження 2. (правило знаків). Якщо одна з нерівностей (4) при i = S не задовольняється при  , j = S – 1, S, S + 1, то при   для забезпечення нерівності і мінімуму за модулем значень  , j = S – 1, S, S + 1, варто прийняти знаки   і   збіжними зі знаком  , а знак   – протилежним знаку  .
Розглядаються виникаючі при цьому обмеження на значення  .
З урахуванням сусідніх до т. S ділянок доводиться, що мінімальне за модулем значення  , що забезпечує відсутність осциляції апроксимуючої ДПК у т. S, можна вибрати із системи
 
 , (6)
 
якщо область її рішення непуста.
Зауважимо, що (6) є результатом, що не покращується і носить локальний характер.
Спільний розгляд отриманих областей для всіх аномальних вузлів дозволяє встановити можливість виконання рівномірного наближення, коли значення  , за модулем дорівнюють  , що визначається зі спільної системи обмежень.
Якщо (6) виявляється суперечливою, то уводяться вагові коефіцієнти  , що показують, яку частку від   складає  , і які вибираються так, щоб була можливість вирішити основну систему (4). З урахуванням вагових коефіцієнтів вона має вигляд
 
,  . (7)
 
Розглядається рішення системи (7), де знаки відхилень для точок вибираються відповідно до твердження 2. Корекція рішення виконується добором значень  .
Перевага викладеної методики і правила знаків складається в тому, що, якщо є рівномірне наближення, то ординати відповідної ДПК знаходяться відразу.
Основним у роботі є спосіб апроксимації ДПК за критерієм НГВ на основі побудови опорних ДПК.
Поняття опорної кривої було введено Найдишем А. В. і означає
Фото Капча