Електродинамічний аналіз узагальненої щілинної лінії передачі

Оскільки рівняння Гельмгольца є лінійним диференціальним рівнянням, шукані функції U1, V1 в області 1 можуть бути зображені лінійними комбінаціями деяких інших рішень цього рівняння

 

 ,  . (2)

 

Областями визначення функцій U1i, V1i є нескінченні області простору, обмежені зсередини виродженими еліпсами  , а область визначення функцій U1, V1 знаходиться як спільна частина (добуток) цих нескінченних областей.

 

Зображення функцій U1i, V1i було отримано за допомогою другої формули Гріна із застосуванням функції Гріна еліптичного циліндра для випадків, відповідно, однорідної граничної умови Дирихле або Неймана:

 

 , (3)

 

де   – кутові функції Мат’є,   – модифіковані функції Мат’є,  ,   – половина довжини  -того відрізку контуру,   – еліптична система координат, що має фокуси на кінцях  -того відрізку контуру,   – невідомі коефіцієнти розкладів шуканих функцій. Розвинення функції  , що відповідає щілині, виконано в термінах функцій Мат’є іншої парності для того, щоб задовольнити змішані граничні умови на щілині відносно нормальної та тангенціальної похідних від функцій U і V.

Для зображення функцій  ,  , що описують внесок в шукане поле від апертури, були використані модифіковані функції Мат’є третього роду, які відповідають від’ємним значенням параметра   (поперечне хвильове число   в області 2 є чисто уявним) та спадають із зростанням   (задовільняють умову на нескінченності) :

 

 . (4)

 

Для знаходження невідомих коефіціентів розвинень    , вирази (3) і (4) підставлялись в граничні умови та умови неперервності полів на щілині. Далі, отримані рівняння проектувались на один з базисів кутових функцій Мат’є:  ,    ,  ,   або  . В результаті була отримана нескінченна система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) відносно невідомих коефіцієнтів розвинень (3) і (4).

У кінці другого розділу були знайдені співвідношення, що спрощують обчислення деяких коефіцієнтів матриці СЛАР. Їх знаходження було зведено до обчислення сум швидкозбіжних рядів, членами яких є коефіцієнти Фур’є в розвиненнях кутових функцій Мат’є.

У третьому розділі розглянуте питання про можливість розв’язку отриманої СЛАР методом редукції. Проведена асимптотична оцінка коефіцієнтів її матриці. Доведено, що основний внесок в значення визначника матриці СЛАР мають коефіцієнти, що лежать на головній діагоналі Показано, що така СЛАР є системою другого роду і її розв язок може бути знайдений методом редукції. Стала розповсюдження   власної хвилі при заданому хвильовому числі вільного простору   знаходиться як послідовність коренів скінченновимірного рівняння

 

 , (5)

 

де   – зведена матриця СЛАР,    – порядок редукції.

У четвертому розділі описана реалізація методу ДО у вигляді обчислювального алгоритму та подані результати контрольних розрахунків. Запропонована модифікація методу ДО реалізована у вигляді двох пакетів програм, що призначені для обчислення сталих розповсюдження власних хвиль структур, що досліджуються, та для знаходження відповідних розподілів полів.

Haведені дані, які отримані при дослідженні чисельної (внутрішньої) збіжності алгоритму. Розрахунками підтверджено, що кількість доданків, що необхідно враховувати в кожному з розвинень (3) і (4) для досягнення потрібної точності, визначається в основному довжиною відповідного відрізка контуру поперечного перерізу. Для отримання достатньої для практики точності достатньо враховувати лише кілька перших членів. В програмах їх число вибирається автоматично так, щоб забезпечити абсолютну похибку не гірше 0. 0001.

Як тестові, розглядаються задачі про власні хвилі однощілинної лінії передачі (рис. 1г), яка має замкнений (за виключенням щілини) провідний контур поперечного перерізу, та двощілинної лінії передачі із скінченними бічними каналами (рис. 1д). Отримані результати співпадають з даними інших авторів з графічною точністю або з точністю, що була закладена в програмах. Ці розрахунки підтвердили ефективність запропонованого в роботі підходу і достовірність отриманих за його допомогою результатів.

Виявлено, що із зростанням глибини бічних каналів у відкритій двощілинній лінії залежність сталої розповсюдження основної хвилі від довжини цих каналів швидко слабшає і практично зникає, коли бічні канали приблизно у три рази більше від ширини щілин структури. Це дає можливість застосовувати таку лінію для дослідження властивостей структури, нескінченної у поперечному напрямі.

Для ілюстрації можливостей запропонованого алгоритму була досліджена залежність ефективної діелектричної проникності від товщини провідних стінок двощілинної лініі. З ясовано, що ця залежність має майже лінійний характер.

П’ятий розділ присвячений електродинамічному аналізу основної і двох перших вищих типів хвиль відкритої двощілинної лініі передачі (рис. 1 а) та двох її модифікацій (рис. 1 б, в).

У процесі дослідження двощілинної лінії (рис. 1 а) виявлено наступне:

дисперсійна крива основної хвилі порівняно швидко досягає насичення. Іншими словами, при значеннях нормованого хвильового числа   приблизно 5. 0 спостерігається прямо пропорційна залежність між сталою розповсюдження   основної хвилі та хвильовим числом  . Оскільки основна хвиля двощілинної лінії передачі не має частоти відтину, ширина одномодового інтервалу структури приблизно дорівнює 1.