Побудова математичної моделі та числове її дослідження

Предмет:

Математика

Тип роботи:

Курс лекцій

К-сть сторінок:

42

Мова:

Українська

Оцінка:

justify;">a21=0;

a22=-1/T;

a31=(Q10*(T1-T0)+kv*l2*(T2-T0)*sqrt((P2-ro*g*h0)/ro))/(-S)/h0^2+kv*l2*(T2--T0)*(-g)/2/sqrt((P2-ro*g*h0)/ro)/S/h0;

a32=(T1-T0)/S/h0;

a33=(-Q10-kv*l2*sqrt((P2-ro*g*h0)/ro))/S/h0;

b2=kl/T/ro;

a=[a11 a12 0 ;

0 a22 0 ;

a31 a32 a33 ]

b=[0 ;

b2;

0]

c=[1 0 0;

0 0 1]

d=[0;0]

Значення коефіцієнтів:

a = -0.0156 1.2732 0

0 -0.0320 0

-0.3540 -50.5457 -0.0178

b = 0

0.7854

0

c =1 0 0

0 0 1

d = 0

0

2.3 Побудова перехідних процесів в лінеаризованій системі та їх порівняння з відповідними перехідними процесами в нелінійній системі

Для побудови перехідних процесів в лінеаризованій системі використаємо функцію MatLab STEP, призначену для знаходження реакції лінійної незбудженої системи на одиничне стрибкоподібне збурення. Результати виконання функції, користуючись властивістю однорідності лінійних систем, необхідно домножити на величину стрибка.

Для накладання графіків перехідних процесів параметрів стану нелінійної та лінеаризованої системи створимо файл yos_kr31.m :

P1=2000;Px=P1*0.2;

h0=0.617917411421 ; Q10=0.004908738521; T0=317.530396151744;

x0=[h0 Q10 T0];

T=[0:8:500];

tol=odeset(*Reltol*,3e-14);

[t1,y1]=ode45(*yos_kr2*,T,x0,tol);

yos_kr3;

c=[1 0 0;

0 0 1];

d=[0;0];

t=[0:500];

sys=ss(a,b,c,d);

[y2,t,x2]=step(sys,500);

x2=Px*x2;

plot(t1,y1(:,1),*o*,t,x2(:,1)+0.617917411421);grid;

ylabel(*h,m*);

xlabel(*t,sec*);pause;

plot(t1,y1(:,2),*o*,t,x2(:,2)+0.004908738521);grid;

ylabel(*Q1,mkub/sec*);

xlabel(*t,sec*);pause;

plot(t1,y1(:,3),*o*,t,x2(:,3)+317.530396154693);grid;

ylabel(*T,K*);

xlabel(*t,sec*);

Зауваження: Для порівняння графіків відхилень , та дійсних величин , , до величин відхилень потрібно додати номінальні значення параметрів hH=0.617917411421, Q2H=0.004908738521, TH=317.530396154693.

Результатом виконання цих програм є наступні графіки перехідних процесів:

Рисунок 2.1 Графік порівняння перехідних процесів з номінального початкового стану рівноваги до нового стану рівноваги по рівню h(t) для нелінійної (-) та лінеаризованої (·) моделей.при нанесенні на об*єкт збурення

Рисунок 2.2 Графік порівняння перехідних процесів з номінального початкового стану рівноваги до нового стану рівноваги по рівню Q1(t) для нелінійної (-) та лінеаризованої (·) моделей.при нанесенні на об*єкт збурення

Рисунок 2.3 Графік порівняння перехідних процесів з номінального початкового стану рівноваги до нового стану рівноваги по рівню T(t) для нелінійної (-) та лінеаризованої (·) моделей.при нанесенні на об*єкт збурення

3. Класичні методи дослідження систем

3.1 Зведення лінеаризованої системи звичайних диференційних рівнянь до одного звичайного диференціального рівняння вищого порядку відносно:

а) рівня h в гідравлічній ємності:

Для зведення лінеаризованої системи до одного рівняння відносно рівня h, запишемо її в операторній формі

(3.1)

Згідно правила Крамера , (3.2)

де ,

, s – оператор диференціювання.

Остаточно після обчислення визначників з врахуванням того, що , , спрощення та групування констант при змінних співвідношеннях (3.2) прийме вигляд :

. (3.3)

Отже, лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь запишемо як диференціальне рівняння вищого порядку відносно так:

(3.4)

де

Маючи залежність параметрів стану від вхідної величини, можна записати функцію передачі системи, яка записується як відношення вхідного оператора до власного оператора системи:

Функцію передачі системи, зведеної відносно рівня в ємності, запишемо у вигляді:

. (3.5)

б) температури в гідравлічній ємності Т:

Аналогічно, як в п.3.1. приведемо систему 2.3 до вигляду для застосування правила Крамера, яке в даному випадку буде мати вигляд:

, (3.6)

де ,

Остаточно після обчислення визначників з врахуванням того, що , , спрощення та групування констант при змінних співвідношеннях (3.6) прийме вигляд:

(3.7)

Отже, лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь запишемо як диференціальне рівняння вищого порядку відносно так:

(3.8)

де

Маючи залежність параметрів стану від вхідної величини, можна записати функцію передачі системи, яка записується як відношення вхідного оператора до власного оператора системи:

Функцію передачі системи, зведеної відносно рівня в ємності, запишемо у вигляді:

. (3.9)

3.2 Одержання аналітичних виразів перехідних та імпульсних перехідних функцій систем, отриманих в п.3.1.

а). Знайдемо імпульсну перехідну функцію системи (3.4):

(3.10)

Початкові умови, знайдемо із формул :

Для знаходження розв*язку рівняння (3.10), знайдемо корені його характеристичного рівняння. Для цього створимо скрипт-файл (yos_kr4.m):

yos_kr3;

A0=a11*a22;B0=a12*b2;

A1=-a11-a22;A2=1;

h0=0; h0p=B0;

lb=roots([A2 A1 A0])

Результати виконання програми:

lb =

-0.03200000000000

-0.01561419577680

Оскільки корені характеристичного рівняння системи (3.10) дійсні та різні, то розв*язок має вигляд: , (3.11)

де - константи, які знайдемо з початкових умов.

(3.12)

Для знаходження констант використаємо функцію LINSOLVE з пакету MATLAB.