Прості деформації бруса

ПРОСТІ ДЕФОРМАЦІЇЇ БРУСА

Тема 3. Центральний розтяг (стиск) бруса

 

3.1. Поздовжнi сили i їх епюри.

3.2. Напруга, деформацiя, закон Гука при розтязi (стиску).

3.3. Механічні характеристики будівельних матеріалів.

3.4. Дiаграма розтягу маловуглецевої сталi.

3.5. Вплив рiзноманiтних факторiв на механiчнi характеристики матерiалiв.

3.6. Методи розрахунків в опорі матеріалів.

3.7. Основнi види задач опору матерiалiв.

3.8. Врахування власної ваги бруса при розтязі (стиску).

3.9. Поняття критичної i допустимої довжини стержня.

3.10. Брус рiвного опору при розтязi (стиску).

3.11. Статично невизначні задачі при розтязі (стиску).

3.12. Загальний метод розкривання статичної невизначностi.

3.13. Приклади розв’язання статично невизначних задач при розтязi (стиску).

3.14. Монтажні (початкові) зусилля.

3.15. Температурна напруга.

 

3.1.  Поздовжнi сили i їх епюри

 

Брус, що працює на розтяг (стиск) називається стержнем (стрижнем).

Якщо рiвнодiйна внутрiшнiх (поздовжнiх) сил N прикладена в центрi ваги поперечного перерiзу, то має мiсце центральний розтяг (стиск).

Будемо розглядати досить жорсткi стержнi з  прямою вiссю, тобто такi, у яких   (  довжина бруса;

найменший розмiр поперечного перерiзу).

При центральному розтязі (стиску) виникає лише нормальна внутрішня сила N.

Графiк залежностi N(х) - називають епюрою поздовжнiх сил.

Приклад побудови  епюри N (х).

а)б)

Рис.2.1

Розглянемо стержень сталого поперечного перерiзу з вертикальною вiссю (рис.2.1а).  Внутрішню  силу    будемо  визначати  методом  перерiзiв.    є  неперервною  функцiєю  в  межах  однiєї  дiлянки  стержня. Границями дiлянок є початок і кiнець стержня, а також всi характернi  перерiзи ( такi перерiзи, де прикладено

зосереджену силу або пару сил, починається або закiнчується дiя розподiленого навантаження).

В нашому прикладі стержень має три ділянки:

Дiлянка 1:  ;. 

Дiлянка 2: 

Дiлянка 3:   

= 

Таким чином,  внутрiшня сила N в довільному перерізі стержня чисельно дорiвнює алгебрiчнiй сумi

всiх зовнiшнiх сил з одного боку вiд перерiзу.

Правило знакiв: розтягуючу силу вважають додатньою; стискуючу - від’ємною.

Епюра  дозволяє  визначати  небезпечні  (розрахункові)   перерiзи  (де     )   і   пiдказує   iдею заощадження матерiалу (стержень можна проектувати ступінчатим).

 

3.2.  Напруга, деформацiя, закон Гука при розтязi (стиску)

 

В поперечному перерiзi бруса при розтязi (стиску) виникає нормальна напруга   .

Елементарну  поздовжню силу  можна  виразити через таку напругу

(2.1)

Тоді

.(2.2)

Із виразу (2.2) ( як iз умови рiвноваги зовнішніх і внутрішніх сил ) можна визначати    . Але права частина (2.2) може задовiльнятися при рiзних  симетричних законах змiни    в площинi перерiзу (рис.2.2а,б,в). Тому, задача визначення   є статично невизначною i вимагає додаткових дослiджень.

а)б)в)

Рис.2.2

Дослiди на моделях iз еластичних матерiалiв  пiдтверджують закон. Тодi   . Звідки

.(2.3)

Розглянемо здеформований стан стержня розтягнутого силою(рис.2.3).

Рис.2.3

Якщо   - абсолютне подовження, то відносне подовження

,(2.4)

а відносне звуження

.(2.5)

Відношення ,(2.6)

де   - коефiцiєнт Пуассона.

Для всiх  матерiалiв      (    для  коркового  дерева;    для  каучука;    для сталі).

Залежнiсть мiж напругою i деформацiєю в межах пружностi матерiалу встановлюється за законом Гука

,(2.7)

де- модуль Юнга (модуль пружностi ).

Для сталi  МПа.

Пiдставивши (2.3) i (2.4) в (2.7), одержимо наступний вираз закону Гука

(2.8)

де добуток   - жорсткiсть при розтязi (стиску).

 

3.3. Механічні характеристики будівельних матеріалів

 

Для вивчення поведiнки рiзних матерiалiв пiд навантаженням виконують експериментальнi дослiдження зразкiв  таких матерiалів. Дослiдження проводять з метою одержання  кiлькiсних характеристик мiцностi i пластичностi матерiалу. Такi характеристики називаються механiчними характеристиками мiцностi i пластичностi.

В експериментальних дослiдженнях матерiалів використовують стандартнi зразки. При статичному розтязi матерiалiв використовують  зразки цилiндричної (рис.3.1а) або призматичної (рис.3.1б) форми. Можуть використовуватися довгi ( ) та короткi ( ) циліндричні зразки.

а)б)

Рис.3.1.

Для  призматичних  зразків  теорiя  подiбностi  вимагає,  щоб  виконувалися  наступнi  спiввiдношення  між довжиною   і площею поперечного перерізу : (для довгих зразків) і   (для коротких зразків).

Дослiдження таких зразкiв матеріалів виконують на спецiальних машинах з гiдравлiчним або механiчним принципом дiї.

Результатом дослiдження матерiалу на статичний розтяг є дiаграма розтягу (експериментальна крива залежності  ).

 

3.4.  Дiаграма розтягу маловуглецевої сталi

 

Результатом розтягу  стандартного  зразка  маловуглецевої  сталі  є  діаграма,  характер  якої  зображено  на рис.3.2.

Рис.3.2

На  дiлянці діаграми 0-1  зберігається  пряма  пропорцiйнiсть  між силою    та  абсолютним  подовженням    

.Точка 1 - вiдповiдає границi пропорцiйностi.

Границя пропорцiйностi   - така найбiльша нормальна  напруга, до якої зберiгається прямопропорцiйна залежнiсть мiж силою та деформацiєю

(3.1)

На дiлянцi 1-2 вiдбувається вiдхилення вiд прямопропорцiйної залежностi i з’являються невеликi залишковi

деформацiї. Точка 2 вiдповiдає границi пружностi матерiалу.

Границя пружностi   - така найбiльша нормальна напруга, при якiй залишкова деформацiя не перевищує деякого нормативного значення (наприклад:  0,001; 0,003;