Прості деформації бруса

  .

Рис.5.1.

Зробимо довiльний перерiз на вiдстанi  вiд вiльного кiнця. Тоді :

(а)

(б)

При (стержень навантажує лише власна вага)

(5.1)

Напруга вiд власної ваги залежить вiд матерiалу, гравiтацiйної константи i довжини стержня.

Максимальна напруга (в защемленому перерізі)

(5.2)

3.9.  Поняття критичної i допустимої довжини стержня

Якщо  ,то у виразі (5.2)   ( - допустима довжина стержня)

(5.3.)

Якщо   , то у виразів (5.2)    ( - критична довжина стержня, при якій він руйнується від власної ваги)

(5.4)

Допустима i критична довжини залежать лише вiд матерiалу. Щоб збiльшити    і    , потрiбно вибирати легший i мiцнiший матерiал.

Власна вага деформує стержень. Абсолютна деформацiя вiд розтягу (стиску) власною вагою    визначається за формулою

(5.5)

Таким чином , деформацiя вiд власної ваги у 2 рази менша вiд деформацiї, яку викликає зовнiшня сила, що дорiвнює власнiй вазi.

 

3.10. Брус рiвного опору при розтязi (стиску) Власна вага нерiвномiрно впливає на напруження стержня за його довжиною,  тому  виникає  необхiднiсть рацiонального розподiлу матерiалу за довжиною стержня.

 

Брус, у якого у кожному поперечному перерiзiнапруга з врахуванням власної ваги однакова і рівна

, називається брусом рiвного опору при розтязi (стиску).

На рис.5.2 зображено такий брус і вказано закон , за яким змінюється площа його поперечного перерізу.

Брус рiвного опору має також сталу відносну деформацію

(5.6)

Практична реалiзацiя  бруса  рiвного  опору  є  складною,  тому  його  замiнюють  ступiнчатим  брусом  (див.

пунктирне зображення на рис.5.2).

Рис.5.2

 

3.11. Статично невизначні задачі при розтязі (стиску)

 

Розглянемо двохстержневий кронштейн (рис.6.1а) під дією сили   . Зусилля   і   в його стержнях можна визначити із умов рівноваги вирізаного вузла В (рис.6.1б). Тому стержневі системи, силовий стан яких можна

визначити із умов рівноваги, називають статично визначними.

Рис.6.1.

Якщо, наприклад, вказаний кронштейн підсилити третім стержнем (стержень    на рис.6.2а), то із умови рівноваги вузла    не  можна  визначити  зусилля     і     (дві  умови  рівноваги і три  невідомих ,  див. рис.6.2б), тобто дана стержнева конструкція є статично невизначною.

Стержень   накладає на систему так звану “зайву” в’язь. Якщо додати ще одну в’язь то задача буде двiчi

статично невизначною. Кiлькiсть  “зайвих” в’язей  визначає  степiнь статичної невизначностi системи.

а)б)

Статично невизначними називаються такi стержневi системи, в яких є “зайвi” в’язі.

 

3.12. Загальний метод розкривання статичної невизначностi

 

Статичну невизначнiсть системи можна розкрити, розглядаючи чотири сторони задачi:

1) статична сторона (для даної системи сил складають всi можливi рiвняння рiвноваги);

2) геометрична сторона (розглядаючи здеформований стан системи, складають геометричнi рiвняння, що встановлюють залежностi мiж деформацiями окремих елементiв. Такi рiвняння називають рiвняннями сумiсностi (зв’язностi) деформацiй. Кiлькiсть таких рiвнянь повинна дорівнювати степеневі статичної невизначностi задачi).

3) фiзична сторона (на основi законiв Гука і теплового розширення виражають деформацiю через зусилля i

температуру);

4) синтез (розв’язують сумiсно статичнi, геометричнi та фiзичнi рiвняння).

Якщо задачу розв’язують вiдносно невiдомих зусиль, то метод розв’язання називається методом сил. Якщо ж задачу розв’язують вiдносно деформацiй чи переміщень, то метод називається методом деформацiй (переміщень).

 

3.13. Приклади розв’язання статично невизначних задач при розтязi (стиску)

 

Приклад 1.

Визначимо зусилля в нижній (довжиною   ) і у верхній (довжиною    ) частинах однорідної (із сталою площею поперечного перерізу   і довжиною   ) колони , яку завантажено силою   (рис.6.3).

Рис.6.3

Задача один раз статично невизначна, бо на колону накладено дві в’язі (защемлено кінці колони і виникають реакції   і  ) і можна записати лише одну умову рівноваги (   ).

Розглянемо чотири сторони задачі.

1) Статична сторона:

(а)

2) Геометрична сторона:

(б)

3) Фiзична сторона:

(в)

4) Синтез. Пiдставимо (в) в (б):

(г)

Згiдно з методом перерiзiв:

(д)

Тодi

(е)

Розв’язавши сумісно рiвняння (а) і (е), одержимо :

Врахувавши (д) , визначаємо зусилля в обох частинах колони:

Приклад 2.

Визначимо зусилляі    у трьохстержневій  підвісці,  яку  завантажено  силою    ,  і  у  якої  відомо жорсткість при ростязікожного стержня (рис.6.4а).

а)б)в)

Рис. 6.4

Здача є один раз статично невизначною.

1) Статична сторона задачі. Складемо умови рівноваги вузла   :

(а)                        (б)

2) Геометрична сторона задачі. Розглянемо здеформований стан системи (рис.6.4в).

Нехтуючи малою змiною кута   , можна записати рівняння сумісності деформацій

(в)

3) Фізична строна задачі. За законом Гука :

(г)

4) Синтез. Підставимо (г) у (в) і одержимо

Звідки

(д)

Сумісний розв’язок рівнянь (а), (б) і (д) дозволяє визначити   і  .

Позначимо

де   - погонна жорсткiсть стержня.

Тодi із (д) одержимо

(ж)

(з)

Аналiзуючи (з), можемо сформулювати наступнi основнi властивостi статично невизначених систем:

1)  розподiл  внутрiшнiх  зусиль  у  статично  невизначних  системах  залежить  лише  вiд   спiввiдношення жорсткостей елементiв i геометрiї системи (розподiл не залежить вiд величини жорсткостей   );

2) у бiльш жорсткому стержнi виникає бiльше внутрiшнє зусилля;

3) у статично невизначних системах може реалізовуватися безлiч варiантiв розподiлу внутрiшнiх зусиль (в залежностi вiд спiввiдношення жорсткостей).

Iз властивостi 3) випливає можливiсть оптимiзацiї силового стану статично невизначних систем: необхiдно знайти такий розподiл внутрiшнiх сил, при якому витрати (наприклад витрати матерiалу) будуть найменшими при виконаннi вимог мiцностi, жорсткостi та стiйкостi. Такi задачi на сучасному етапi розвитку науки розв’язують методами теорiї оптимального проектування, тобто математично такi задачi формулюють як задачi пошуку умовного екстремуму функцiї багатьох змiнних. Ситуацiя з оптимальним проектуванням на даному етапi складається таким чином: практичнi задачi деяких класiв розв’язують методами  математичного  програмування  (лiнiйне,  нелiнiйне),  класичними  методами  пошуку екстремуму (градiєнтнi i методи варiацiйного числення),різними ітераційними наближеними методами

Такi задачi розглядають, використовуючи ЕОМ.

 

3.14. Монтажні (початкові) зусилля

 

Визначимо зусилля   і  , які виникнуть після монтування трьохстержневої підвіски, у якої , наприклад

, стержень   виготовлено з відхиленням     від  необхідної за проектом довжини  (рис.6.5а). Такі зусилля можуть виникати лише у статично невизначних конструкціях.

а)б)

Рис. 6.5.

Дана конструкція є один раз статично невизначною. Розглянемо чотири сторони задачі.

1)Статична сторона задачі. Умови рівноваги вузла   :

(а)                                                   (б)

2) Геометрична сторона задачі.Рівняння сумісності деформацій

(в)

3) Фізична сторона задачі. За законом Гука:

(г)

Розв’язавши сумісно одержані рiвняння, знайдемо монтажні зусилля.

Зауважимо ще раз, що у статично визначних системах таких монтажних зусиль бути не може.

При початкових зусиллях у конструкцiї корисне навантаження може розвантажувати певну групу елементiв, додатково навантажуючи iншу. Таким чином, з’являється можливiсть певного регулювання силового стану конструкцiї шляхом введення початкових зусиль. Такi конструкцiї називаються попередньо напруженими.

На рис.6.6 зображено попередньо напружену ферму iз тросовою затяжкою.

Рис.6.6

 

3.15. Температурна напруга

 

Нехай дано стержень площею  поперечного перерізу  ,виготовлений із матеріалу, модуль пружності якого   і  коефiцiєнт лiнiйного розширення   (рис.6.7). Якщо збiльшимо температуру стержня на   , то вiн почне тиснути на опори i будуть виникати їх реакцiї   i  .

Рис.6.7

Задача  визначення внутрішнього зусилля  в  стержні в  цьому випадку  є  один  раз  статично  невизначною.

Розв’яжемо цю задачу.

1. Статична сторона задачi:

(а)

2. Геометрична сторона задачi:

(б)

3.Фiзична сторона задачi (використаємо закони Гука i лiнiйного розширення):

(в)                                                                    (г)

4. Синтез. Розв’яжемо сумісно одержані рівняння і визначимо температурну напругу   ,  яка виникає  у стержні від зміни температури:

(6.1)

Таким чином, температурна напруга   залежить лише вiд матерiалу i рiзницi температур.

 

Питання для самоконтролю

 

1. Як називається деформація, викликана двома  рівними  й  протилежно  направленими силами,  що  діють вздовж осі стержня ?

2. За якою формулою визначаються напруги в стержні при розтязі на площадках нормальних до осі стержня ?

3. За якою формулою визначають максимальну нормальну напругу при розтязі (стиску) ?

4. Як називається напруга, що лежить в площині перерізу ?

5. В яких одиницях вимірюється напруга ?

6. Вкажіть умову міцності при розтязі (стиску).

7. За якою формулою визначається найменша необхідна площа поперечного перерізу стержня при розтязі

(стиску) ?

8. Як позначається допустима нормальна напруга ?

9. Як позначається допустима дотична напруга ?

10. Чому дорівнює допустима нормальна напруга для Ст. 3 (МПа) ?

11. Вкажіть формулу закону Гука при розтязі (стиску) ?

12. Яка залежність між абсолютним видовженням і жорсткістю стержня ?

13. Яка залежність між абсолютним видовженням і силою, що розтягує стержень ?

14. Яка залежність між видовженням і площею поперечного перерізу стержня ?

15. Який вираз для жорсткості при розтязі (стиску) ?

16. Від чого залежить жорсткість при розтязі ?

17. За якою формулою визначається відносне видовження ?

18. Як позначається модуль пружності в опорі матеріалів ?

19. Як називається коефіцієнт пропорційності, що пов’язує нормальну напругу та відносне видовження ?

20. Як називається добуток ЕА ?

21. В яких одиницях вимірюється жорсткість при розтязі стержня ?

22. Чому дорівнює модуль пружності для сталі, міді, дерева ?

23. Як називається відношення абсолютного видовження стержня до його початкової довжини ?

24. За якою формулою можна визначити нормальну напругу в стержні, якщо відомі матеріал стержня та його відносна деформація ?

25. Як позначається одиниця модуля пружності ?

26. Як називається абсолютна величина відношення відносної поперечної деформації до відносної поздовжньої

27. За якою формулою визначається коефіцієнт Пуассона ?

28. В яких межах змінюється коефіцієнт Пуассона ?

29. Яке найменше значення коефіцієнта Пуассона ?

30. Яка найбільша величина коефіцієнта Пуассона ?