Розроблення аналітико – числових методів розв’язування крайових задач теорії дифракції для конічних, клиноподібних та циліндричних областей

Доведено, що при виконанні сформульованого правила: а) розв’язання суматорних рівнянь дифракційних задач на конусах з краєм в статичних границях зводиться до обертання рівнянь типу згортки, а розв’язки цих рівнянь отримано в аналітичному вигляді на основі факторизації мероморфних функцій, які визначаються модовою структурою поля; б) відповідні матричні оператори типу згортки та їх обернені утворюють пари регуляризаційних операторів для БСЛАР першого роду задач дифракції на скінченому та зрізаному конусах. Останнє твердження базується на встановленій властивості, яка полягає у тому, що головні частини асимптотик матричних елементів цих систем при великих значеннях індексів прямують до статичної границі, а, отже, утворюють матриці, що допускають обертання в аналітичному вигляді. Матричні оператори типу згортки та відповідні обернені оператори використано для зведення БСЛАР першого роду до БСЛАР другого роду методом “напівобертання” і доведено, що розв’язки останніх знаходяться методом редукції з заданою точністю. Вияснено закономірності формування систем рівнянь для знаходження коефіцієнтів розкладу потенціалів у вільному просторі та конічних областях. В результаті вперше розроблено коректний підхід до розв’язання суматорних рівнянь скалярних задач дифракції на скінченому та зрізаному конусах, який полягає у зведенні їх до БСЛАР другого роду методом “напівобертання”. Перевага запропонованого підходу над відомими методами, полягає у тому, що регуляризаційні оператори враховують усі характерні геометричні особливості конічних розсіювачів (змінну кривизну, особливості у вершині і на краях).

Зв’язок між методом суматорних рівнянь і методом інтегрального перетворення Конторовича-Лєбедєва показано на прикладі осесиметричної задачі дифракції ТМ- хвилі на конусі зі зрізаною вершиною. Для розв’язання цієї задачі використано метод дуальних інтегральних рівнянь. Наведена формальна (вимагає припущення, що хвильове число є уявним) методика їх зведення до БСЛАР першого роду. Вона включає перехід до сингулярного інтегрального рівняння і передбачає розклад невідомої функції (дотичної складової електричного поля на конічній поверхні, що доповнює зрізаний конус до напівбезмежного) в ряд за модифікованими функціями Бесселя. Показано, що системи рівнянь, отримані для даної задачі методом суматорних рівнянь і методом інтегральних перетворень, співпадають при уявних значеннях хвильового числа. Доведено правомірність аналітичного продовження матричних елементів останньої (як функцій хвильового параметра) на область додатніх дійсних значень і обгрунтовано використання формалізму методу інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва для розв’язання задач дифракції на конусах з краєм. Методика використання інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва для виведення БСЛАР задачі дифракції на зрізаному конусі узагальнена на випадок, коли конус має скінчену кількість кругових щілин.

Особливості застосування інтегральних перетворень Конторовича-Лєбедєва при розв’язанні несиметричних задач дифракції електромагнітних хвиль на скінченому конусі з’ясовано на основі розв’язання векторної крайової задачі для рівнянь Гельмгольца, сформульованої відносно  -х ( ) гармонік Фур’є скалярних потенціалів ТМ- і ТЕ- хвиль дифрагованого поля. Вперше отримано коректні зображення потенціалів векторної задачі. Показано, що вони містить інтеграли Конторовича-Лєбедєва з невідомими трансформантами і лінійні комбінації розв’язків рівняння Гельмгольца (для  -х гармонік Фур’є), що відповідають нульовій постійній розділення змінних, з невідомими коефіцієнтами. Задачу зведено до системи інтегральних рівнянь і запропонована схема однозначного переходу до БСЛАР першого роду без апріорних обмежень на співвідношення між невідомими коефіцієнтами в зображеннях потенціалів. Отримана система рівнянь строго враховує взаємодію ТМ- і ТЕ- типів хвиль та допускає перехід до БСЛАР другого роду методом “напівобертання”. Показано, що регуляризаторами вихідних БСЛАР першого роду є матричні оператори типу згортки та їх обернені, елементи яких визначаються типом хвилі і кутом розхилу конуса.

Отримані в даному розділі результати в сукупності дають, строгий в математичному плані, метод аналізу задач теорії дифракції на конічних поверхнях з краями, що базується на ідеї “напівобертання”.

У третьому розділі розширено область застосування запропонованого методу на випадки, коли розсіювачі містять скінчену кількість ідеально провідних співвісних відрізків конічних поверхонь з довільними кутами розхилу, які не формують біконічних областей і утворені з конусів зі спільною вершиною (див. рис. 1, а). Показано, що зведення в цьому випадку задач дифракції до систем другого роду базується на використанні регуляризаційних операторів задач дифракції на краях окремих елементів цих розсіювачів. Всебічно досліджено осесиметричну задачу дифракції ТМ- хвилі на структурі, яка складається зі співвісних скінченого і зрізаного конусів (див. рис. 1, б). Отримано системи рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів розкладу потенціалів в конічних областях і в сферичній смузі, яка розділяє конуси. Для кожної з систем побудовані регуляризаційні оператори. Встановлено, що матричні оператори типу згортки та їх обернені дозволяють реалізувати метод “напівобертання” і отримати БСЛАР другого роду шляхом ліво- і правосторонньої регуляризації систем рівнянь першого роду. Досліджено системи рівнянь задачі дифракції ТМ- хвилі на конусі з двома азимутальними щілинами. У випадку вузьких щілин отримано якісні оцінки їх взаємного впливу на характеристики поля. Набір отриманих систем рівнянь забезпечує гнучкість даного підходу при розрахунку полів