Стійкість тонкостінних елементів конструкцій з урахуванням недосконалостей форми

і т. д.
Інтегрування великої системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь пов’язано зі значними обчислювальними труднощами. Тому перед інтегруванням системи застосовуємо процедуру зниження її порядку, використовуючи чисельний варіант методу Бубнова за схемою Папковича, на основі автоматично побудованих базисних векторів, за які приймаються вектор розв’язку задачі статики від заданого навантаження без урахування зміни її в часі та деяка кількість нижчих власних векторів задачі стійкості або динаміки.
Задача про власні значення розв’язується також за допомогою метода редукції базиса. Шуканий власний вектор представляється у вигляді розвинення у ряд лінійно незалежних векторів, які можуть бути визначені через розв’язок статичних задач. За навантаження, в даному випадку, приймаються зосерджені або розподілені на деяких ділянках зовнішні сили. Обмеження числа членів розвинення в операції проектування призводить до задачі на власні значення, порядок якої виявляється істотно нижчим за порядок вихідної задачі.
Для покращення збіжності методу редукції нелінійної задачі реалізується один крок ітераційного процесу. Вектор невідомих U представляється у вигляді суми деякого похідного вектора V і вектора Z, одержаного з розв’язку задачі статики від квадратичного відхилу. Така заміна вектора невідомих призводить до системи більш складного вигляду, яка проте має покращену збіжність по відношенню до апроксимації лінійної комбінації базисних векторів. Здійснюючи згортку нелінійного оператора за методом Бубнова, одержуємо систему нелінійних алгебраїчних або звичайних диференціальних рівнянь відносно коефіцієнтів розвинення, яка може бути розв’язана за допомогою методу продовження розв’язання по параметру у випадку статичної стійкості, або проінтегрована за допомогою методу Рунге-Кутта у випадку динамічної стійкості:

  (9)

Траєкторія навантаження будується за допомогою дискретного методу продовження за параметром з корекцією розв’язку на кожному кроці. Формула, яка реалізує цей алгоритм, дозволяє, виходячи з початкового ненавантаженого стану, послідовним збільшенням параметра знаходити відповідні наближені розв’язки рівнянь.
Початкові недосконалості враховуються як збурення розв’язку і можуть бути задані у вигляді комбінації векторів базису. Розроблена методика дозволяє розв’язувати задачі нелінійного деформування оболонок довільної форми і аналізувати криві навантаження з метою виявлення особливих точок  граничних та біфуркаційних. Крім того, такий підхід дозволяє також вивчати процес нелінійного деформування конструкцій та чутливість їх до недосконалостей, грунтуючись на використанні асимптотичної теорії Койтера.
Виходячи з редукованої системи рівнянь

   , (10)

де  ;  ;  ;  , та використовуючи метод малого параметра, будується залежність параметра навантаження   від параметра  , який характеризує збурення оболонки по біфуркаційній формі.
Приймаючи  , тобто  ,  ,   і доповнюючи (10) відповідно рівняннями   і  , можна отримати коефіцієнти розвинення   і   та, далі, коефіцієнти стійкості   і  .
Знайдені коефіцієнти дозволяють побудувати залежності параметра критичного навантаження   від параметра недосконалості, що задана по біфуркаційній формі, використовуючи наближені співвідношення:

   ; (11)
   .

Аналіз нижчих власних значень і власних векторів матриці Якобі дозволяє виявити особливі точки на кривій навантаження і продовжити розв’язання як після граничної точки, так і після точки біфуркації. Граничне значення параметра навантаження, при якому одно із власних значень перетворюється на нуль, є критичним. В цій точці необхідно дослідити можливість розгалуження траєкторії навантаження. При цьому, якщо відповідний власний вектор є ортогональним вектору розв’язку, то від основної траєкторії відгалужується біфуркаційна вітка. В цій особливій точці реалізується втрата стійкості першого роду. Якщо власний вектор, що відповідає нульовому власному значенню, є неортогональним вектору розв’язку, то така особлива точка є граничною і в ній реалізується втрата стійкості другого роду. В околі особливої точки матриця жорсткості вироджується і тому продовження траєкторії по даному алгоритму стає неможливим. Для подолання цієї трудності в граничній точці параметр навантаження призначається додатковим невідомим, а провідним параметром стає компонента шуканого вектора розв’язку, відповідна до максимальної компоненти власного вектора. Для побудови біфуркаційної вітки уточнюється положення особливої точки на кривій навантаження і до нагромадженого вектора розв’язку додається власний вектор з деяким співмножником.
Третій розділ містить стислу інформацію про програмний комплекс, в якому реалізована запропонована методика. Наведений опис структури вхідних та вихідних даних задачі, яка вирішується.
У четвертому розділі з метою демонстрації можливостей запропонованої методики і для перевірки її вірогідності та універсальності наведені результати чисельних досліджень задач стійкості недосконалих оболонок, серед яких задачі стійкості кругової арки, пологої тороїдальної панелі, конічної панелі, підкріпленої призматичної складчастої системи.
Розглянута статична і динамічна стійкість пологої кругової жорстко затиснутої арки (рис. 1), яка має початкові геометричні недосконалості. Для розв’язання задачі про стійкість арки за базисні вектори прийняті статичний розв’язок і чотири нижчі форми втрати стійкості.
При статичному навантаженні досліджено вплив недосконалостей арки, які задані по першій (кососиметричній) формі (рис. 2), а також по другій (симетричній) формі (рис. 3).
Досліджено вплив тривалості дії динамічного навантаження, яке задане в формі прямокутного імпульсу. Зменшення тривалості імпульсу відсуває критичне навантаження в бік його збільшення і вирівнює стрибок прогину.
Еволюційні криві наведені для докритичного (рис. 4) і закритичного (рис. 5) значень навантаження, які відрізняються у п’ятому знаці. Ця обставина свідчить про наявність чітко вираженого стрибка прогину, який характеризує втрату стійкості, тобто при зростанні величини навантаження на соту долю відсотка прогин збільшується в десятки разів. Характерно, що в результаті втрати стійкості встановлюється чітко виражений періодичний рух. Цей факт свідчить про явище самоорганізації просторово-часової структури системи, яке