Систематичні методи вивчення взаємозв’язків

сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної менша, ніж від будь-якої іншої величини, тобто  

Третю і четверту властивості використовують для спрощення техніки обчислення середньої з варіаційного ряду розподілу. Але слід зауважити, що це можливо робити тільки тоді, коли варіаційний ряд розподілу в основі своїй має рівні інтервали.

Середню гармонічну використовують для узагальненої характеристики ознаки тоді, коли відомі окремі значення досліджуваної ознаки і обсяги явищ, а частоти невідомі. Її формула має такий вигляд:

 , де

n – кількість варіантів.

На практиці частіше застосовують середню гармонічну зважену, формула якої має такий вигляд:

 , де

w – обсяг явищ.

Середню геометричну використовують для обчислення середніх темпів зростання, тобто коли загальний обсяг явищ становить не суму а добуток ознак. Її визначають:

 .

Середню квадратичну використовують для оцінки варіації ознак, а також для узагальнення ознак, виражених лінійними розмірами яких-небудь площ (для розрахунку середніх діаметрів стовбурів дерев, листків, кошиків). Її визначають за такими формулами:

 - проста;

 - зважена.

Мода – це та варіанта, що найчастіше повторюється в ряді розподілу.

В дискретному варіаційному ряді моду легко відшукати візуально, бо це варіанта, якій відповідає найбільша частота.

В інтервальному ряді моду визначають за допомогою додаткових розрахунків. Спочатку обчислюють модальний інтервал, тобто інтервал, який має найбільшу частоту. Після цього мода визначається приблизно за формулою:

 

де Mo-мода; XMo min – нижня межа модального інтервалу; h – величина модального інтервалу; nMo – частота модального інтервалу; nMo-1 – частота інтервалу перед модальним; nMo+1 – частота інтервалу після модального.

Медіана – це варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини. Якщо непарне число варіант записати в порядку зростання чи спадання, то центральна з них і буде медіаною. Коли число варіант парне, медіана розраховується як середня арифметична двох центральних варіант.

При визначенні медіани за даними ряду розподілу використовують кумулятивні частоти, які полегшують пошук центральної варіанти.

В інтервальному ряді розподілу аналогічно визначається медіанний інтервал. Конкретне значення медіани обчислюється за формулою

 

де XMe min – нижня межа медіанного інтервалу; h – величина медіанного інтервалу; nMe – частота медіанного інтервалу; SMe-1 -сума нагромаджених частот перед медіанним інтервалом.

Мода і медіана – це особливий вид середніх величин. На відміну від середньої арифметичної, що є величиною абстрактною, ці характеристики центру розподілу статистичної сукупності завжди збігаються з конкретними варіантами. Крім того, на їх величину не впливають значення варіант, не характерних для даної сукупності, скажімо, надмірно малі чи надмірно великі. При обчисленні середньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме через це мода і медіана в окремих випадках мають свої переваги перед середньою арифметичною і використовуються при вирішенні деяких практичних питань. Так, при плануванні обсягу виробництва господарства орієнтуються не на середній товар, а на найбільш «ходовий», тобто модальний. При виборі місця розташування заготівельного пункту зерна в тому чи іншому районі лише медіана визначить «точку», що дає найменшу відстань від тих сільськогосподарських підприємств, які мають здавати зерно саме в цей пункт.

Варіація, тобто коливання, мінливість значень будь-якої ознаки є властивістю статистичної сукупності. Вона зумовлена дією безлічі взаємопов'язаних причин, серед яких є основні і другорядні. Основні причини формують центр розподілу, другорядні – варіацію ознак, сукупна їх дія – форму розподілу. Наприклад, урожайність сільськогосподарської культури залежить від якості ґрунту та способів його обробки, якості насіння і кількості внесених добрив, метеорологічних умов і інших об'єктивних та суб'єктивних факторів. Сумісна дія їх і різне поєднання зумовлюють той чи інший рівень урожайності в окремих господарствах, а також закономірність розподілу господарств за цією ознакою.

Статистичні характеристики центру розподілу (середня, мода, медіана) відіграють важливу роль у вивченні статистичних сукупностей. В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки значно відхиляються від центру розподілу, в інших – тісно групуються навколо нього, а відтак виникає потреба оцінити поряд з характеристиками центру розподілу міру і ступінь варіації. Чим менша варіація, тим однорідніша сукупність, отже, тим більш надійні і типові характеристики центру розподілу, насамперед середні величини.

Вивчення варіації має велике значення для оцінки сталості та диференціації соціально-економічних явищ, при використанні вибіркового та інших статистичних методів.

Для виміру і оцінки варіації використовують систему абсолютних і відносних характеристик, а саме: розмах варіації, середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації, дисперсію. Кожна з названих характеристик має певні аналітичні переваги при вирішенні тих чи інших завдань статистичного аналізу.

Методика обчислення характеристик варіації залежить від виду ознаки х і наявних даних (не згруповані чи згруповані).

Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки:

R=xmax – xmin.

Показник характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки.

В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого або як різницю між