Асимптотичний метод розв’язування сингулярно збурених крайових задач типу „конвекція-дифузія-масообмін”

Стрімкий розвиток асимптотичних методів розпочався у математичному аналізі в XVIII ст. Його широко починають застосовувати у своїх працях Лагранж, Лаплас, Леверр'є, які заклали міцний фундамент теорії збурення. Астрономічні задачі привели до нових методів Ньюкома, Ліндштедта, Гільдена, Боліна та ін.

Асимптотичними розвиненнями за незалежною змінною розв'язків для звичайних диференціальних рівнянь займались А. Пуанкаре, Пуассон, О. М. Ляпунов, Е. Айнс [1], Е. Коддінгтон, Н. Левінсон, Е. Камке, Ф. Трикомі, А. Ердейї, Ж. Хорн, О. Перрон, И. 3. Штокало, I. М. Рапопорт та ін. Зокрема, в останній третині дев'ятнадцятого століття А. Пуанкаре й А. М. Ляпунов одержали строгі результати щодо збіжності асимптотичного розкладу, розвиваючи одну з модифікацій теорії збурень – метод малого параметра, що не припускає поділу змінних на швидкі і повільні, але застосовний лише до відшукання періодичних режимів (питання про те, які значення малого параметра забезпечують збіжність розкладу, при цьому залишалось відкритим). У той же час Пуанкаре зробив дуже важливий крок. Він уперше зрозумів, що розкладання за малими параметрами, що використовувались в астрономії, не обов'язково повинні збігатися. Вони можуть являти собою об'єкти особливої природи – асимптотичні ряди. Незважаючи на розбіжність, такі ряди в деякому сенсі добре наближають шукані функції. Тим самим, вперше в математиці виникла ситуація, коли абсолютна точність недосяжна навіть у принципі: у кожній конкретній системі малий параметр має цілком визначене значення.

Вчені К. Штурм, I. Ж. Ліувілль, А. Пуанкаре, О. М. Ляпунов, Г. Біркгофф, Л. Шлезінгер, В. А. Стеклов, Я. Д. Тамаркін, П. Нуайон, X. Территін, В. Пугачов, М. М. Крилов, М. М. Боголюбов [2], И. 3. Штокало, Ю. О. Митропольський [2], А. М. Тихонов [3], I. С. Градштейн, А. Б. Васильева [4], С. Ф. Фещенко, С. Г. Крейн, Л. А. Люстернік, М. Й. Вішик, С. О. Ломов, М. I. Шкіль, I. Г. Малкін, В. М. Волосов, М. М. Красовський та ін. присвятили свої праці знаходженню асимптотики розв'язків за параметром для звичайних диференціальних рівнянь. Розвитком асимптотичних методів розв’язування диференціальних рівнянь займались також відомі іноземні автори.

Асимптотичні розвинення розв'язків для звичайних диференціальних рівнянь одночасно за незалежною змінною i параметром розглянуто у працях М. В. Федорюка, Б. Ван-дер-Поля, И. 3. Штокала та ін. Вивченню стійкості, обмеженості, порядку росту розв'язків звичайних диференціальних рівнянь на скінченому й нескінченому інтервалі присвячено чимало літератури, яка бере свій початок від праць О. М. Ляпунова i А. Пуанкаре.

Такі вчені, як В. Штернберг, В. Тржицинський, В. Вазов [5], Л. Г. Магнарадзе, Н. Левінсон, М. В. Келдиш, О. А. Олійник, С. Каменомостська [6], Є. Жидков [7], Д. Аронсон, Є. Ісакова [8], Т. Цуцунава, М. Вішик, Л. Люстернік, О. Ладиженська, Б. Панайоті, Л. Бобісуд, Су Юй-чен, В. О. Митропольский, С. Ф. Фещенко, Н. А. Павлюк, Я. А. Ройтберг, 3. Г. Шефтель, Н. С. Бахвалов, М. I. Фрейдлін, Р. С. Ефендієв, Л. Чезарі досліджували асимптотику розв’язків диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Особливе місце серед асимптотичних методів зайняла теорія сингулярних збурень, основою якої є рівняння, що містять малий параметр в коефіцієнтах при старших похідних. Розвиток теорії сингулярних збурень започатковано роботами А. Н. Тихонова. В них була розглянута початкова задача для системи звичайних диференціальних рівнянь з малим параметром ε > 0 при певних похідних. Вчений отримав умови, при яких розв’язок поставленої задачі прямує при ε → 0 до одного з розв’язків так званої виродженої системи, яка отримувалась з початкової, якщо в ній формально покладали ε=0. Метод регуляризації розроблено в роботах С. А. Ломова. Базуючись на роботах А. М. Ільїна, розвивається метод зрощування.

У 1957 р. Є. К. Ісакова в праці [8] дослідила розв’язок задачі Коші при ε→0 для рівняння параболічного типу другого порядку   при початковій умові  .

Крайові задачі для лінійного параболічного рівняння другого порядку також досліджував В. Л. Мельников. Так у 1973 р. автор вивчив залежність розв’язку другої крайової задачі від параметра і одержав його розклад за параметром. Також він дослідив поводження розв’язку першої крайової задачі при розширенні області. Асимптотичний розв’язок мішаної задачі для рівняння 4-го порядку знайшли у 1868 р. вчені М. М. Кабацій та І. І. Маркуш.

О. А. Олійник довела існування розв’язку задачі Коші для квазілінійного рівняння   з початковою умовою  . Зауважимо, що розв’язок дослідниця визначає як границю при ε→0 розв’язків задачі Коші для параболічного рівняння   з тою ж початковою умовою. У праці розглядаються випадки, коли   неперервно диференційована функція з умовою   і   для всіх х, а також, коли   – довільна обмежена вимірна функція.

Побудову асимптотики за цілими степенями малого параметра розв’язку задачі Коші для рівняння   у випадку, коли розв’язок виродженої задачі є кусково-гладкою функцією із скінченим числом ліній розриву, здійснив у 1972 р. В. Г. Сушко. Автор будує асимптотику довільного порядку, а також знаходить оцінки похибок асимптотики, попередньо зробивши відповідні припущення відносно початкової функції.

Розв’язки рівнянь   та   при одній і тій же початковій умові, що відповідає центрованій хвилі розрідження для розв’язку другого рівняння, знайдено у 1966 р. І. С. Бахваловим. Автор знаходить головний,