Асимптотичний метод розв’язування сингулярно збурених крайових задач типу „конвекція-дифузія-масообмін”

Асимптотичними методами розв’язання задач для параболічного рівняння і подібних задач для інших видів рівнянь із малим параметром при старших похідних присвячено ряд робіт і закордонних авторів. Зокрема, Д. Аронсон побудував нульові асимптотики із звичайним пограншаром. Так в 1956 р. у праці автор розв’язав крайову задачу для лінійного рівняння параболічного типу  , за умов   (і = 1, 2, 3), де b (x, y) ≥ m > 0, ε > 0 – малий параметр, S – межа області, для якої розглядається дана задача. Аналогічний результат для рівняння еліптичного типу з малим параметром при старших похідних було отримано Н. Левінсоном. В роботах американських вчених (наприклад, Коул, Ван-Дайк і ін.) був розвинутий так званий метод зовнішніх і внутрішніх розкладів, на основі яких одержано ряд результатів у механіці суцільного середовища.

Ефективним методом розв’язку сингулярно збурених задач є асимптотичний метод Вішика-Люстерника [9]. Суть методу покажемо, побудувавши асимптотику розв’язку задачі:

Ввівши гладку функцію  , одержимо вираз  , який точно задовольняє крайові умови (1. 1. 2), а рівняння (1. 1. 1) – з точністю до величини порядку  

Відомо, що важливим досягненням методу є його ідейна простота, “охоплення” ним основних і другорядних складових частин процесу, що вивчається, чутливе реагування на них, застосування до широкого кола задач, які пов’язані з розв’язуванням різноманітних рівнянь з частинними похідними.

У роботах В. Ф. Бутузова та А. Б. Васильєвої широкий розвиток і застосування отримав так званий метод пограничних функцій та метод згладження “негладкостей”. Зокрема в роботі [4] розглядається задача:

Асимптотичний розклад її розв’язку В. Бутузовим отримано у вигляді:

де  - регулярна частина асимптотики,  -погранфункції, вплив яких суттєвий близько сторін прямокутника, а  - кутові погранфункції, вплив яких суттєвий близько вершин прямокутника. В відповідності до числа сторін прямокутника  - функції складаються із чотирьох доданків:

де  - пограншарові змінні.

Функції  , що служать для опису пограншару в околі сторони  , визначаються з допомогою пограншарового оператора   і граничних умов    . Тим самим  - функції ліквідовують нев’язку, внесену в граничні умови на стороні   регулярною частиною асимптотики. Для   одержимо вираз:

Далі можна послідовно знайти в явному вигляді   для   Всі ці функції мають експоненціальну оцінку:

 Аналогічно, функції   визначаються з допомогою пограншарового оператора   і граничних умов  .

Наступні   також знаходяться в явному вигляді і мають оцінку типу (1. 1. 10) :   Таким же чином визначаються погранфункції  .

Зазначимо, що погранфункції  , ліквідовуючи нев’язку в граничній умові на стороні  , в свою чергу вносять додаткові умови на сторонах   і  . Ці нев’язки суттєві біля кутових точок (0, 0) і (а, 0), а далі з ростом   вони експоненціально затухають. Аналогічні нев’язки вносять функції   на сторони   і  , функції  - на сторони   і  , а функції   на сторони   і  .

Для ліквідації цих неузгодженостей і вводяться кутові погранфункції. В відповідності з числом вершин прямокутника Р- функції складаються із чотирьох доданків:

Зокрема,  - функції служать для ліквідації неузгодженостей, внесених  - функціями в граничну умову на стороні   і  - функціями в граничну умову на стороні  . Рівняння для функцій   отримуються із вихідного рівняння (1. 1. 9) (точніше, із однорідного рівняння, що відповідає (1. 1. 9)) стандартним способом: переходом до змінних  розкладом коефіцієнта   в ряд по степеням   і прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях   в обох частинах рівняння. Отже матимемо такі задачі:

де   рекурентно виражаються через функції   з номерами  , зокрема  . Розв’язки задач (1. 1. 11) можна послідовно виразити в явному вигляді через функцію Гріна.

 

 

Розглянемо асимптотичний метод розв’язування сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” [10, 11, 12]. А саме, для криволінійної чотирикутної області    , обмеженої чотирма гладкими кривими  ,  ,  ,  , які в точках   перетинаються під прямими кутами, розглядатимемо таку модельну задачу процесу конвективної дифузії при фільтрації у відповідному однорідному пористому середовищі:

де   – концентрація розчинної речовини у фільтраційній течії у точці   в момент часу  ,  - біжуча точка відповідної кривої,   – зовнішня нормаль до відповідної кривої,   ( ) – малий параметр (він характеризує переваги одних складових процесу над іншими),   – відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі  ),  ,  ,  ,  ,  ,   – достатньо гладкі функції, узгоджені між собою на ребрах області   ( ).

Шляхом введення гармонічної функції   (функції течії), комплексно спряженої до  , i заміною останніх двох граничних умов (1. 2. 3) на умови:  ,   (  – невідомий параметр, повна витрата), дану задачу замінимо більш загальною задачею на конформне відображення   фізичної області   на прямокутник (область комплексного потенціалу)  ,   ( коефіцієнт фільтрації) при відповідності чотирьох кутових точок (див. рис. 1). Поставлена задача розв’язана у роботі [13]. Аналогічні задачі для