Асимптотичний метод розв’язування сингулярно збурених крайових задач типу „конвекція-дифузія-масообмін”

Предмет:

Математика

Тип роботи:

Курсова робота

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

багатозв’язних областей розв’язані, зокрема, у роботі [14].

Припустивши, що задача (1. 2. 3) шляхом конформного відображення (або ) є розв’язаною, здійснюємо заміну змінних , у рівнянні (1. 2. 1) та умовах (1. 2. 2) і приходимо до відповідної “дифузійної задачі” для області :

Рис. 1 Фізична область (а) та відповідна їй область

комплексного потенціалу (б)

РОЗДІЛ 2. СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНІ МОДЕЛІ ТИПУ “КОНВЕКЦІЯ-ДИФУЗІЯ-МАСООБМІН”

2.1. Асимптотичне наближення розв’язків сингулярно збурених крайових задач процесів міграції речовини двома шляхами

Розглянемо процес конвективної гетеродифузії для області , де ( ) – двозв’язна криволінійна область (пористий пласт), обмежена двома замкненими гладкими контурами – внутрішній та – зовнішній (рис. 2, а), який описується такою модельною задачею [10]:

де – концентрація розчинної речовини фільтраційної течії в точці в момент часу , – концентрація розчинної речовини на поверхні скелету (у зв’язаних зі скелетом поляризованих шарах води), - біжуча точка відповідної кривої, , , , , , де , , , , – задані додатні дійсні числа, ( ) - малий параметр (що характеризує переваги одних складових процесу над іншими), – відповідно потенціал та компоненти його швидкості (швидкості фільтрації в пористому середовищі

Рис. 2. Фізична область (а) та відповідна їй область

комплексного потенціалу (б)

2.3. Дослідження одного типу нелінійного сингулярно збуреного процесу трикомпонентної конвективної дифузії з урахуванням малого масообміну та утворення речовини, що випадає в осад

рис. 4. Фізична двозв’язна область (а) та відповідна їй область комплексного потенціалу (б).

Дана модель описує процес поширення частинок трьох сортів забруднюючої речовини у фільтраційному середовищі. Причому кожна з речовин втрачає (наприклад, під дією певної хімічної реакції) свої частинки при взаємодії з речовинами іншого сорту, внаслідок чого утворюється речовина , яка випадає в осад.

Рис. 5. Фізична область (а) та поле швидкостей над відповідною їй областю комплексного потенціалу (б)

Рис. 6. Вплив дифузійних поправок на розподіл концентрації забруднюючих речовин

ВИСНОВКИ

У роботі розглянуто питання побудови та розв’язку математичних моделей процесів конвективної дифузії за умов малого масообміну, зокрема, з урахуванням утворення речовин що випадають в осад.

Розглянуто методику побудови асимптотичного наближення розв’язку сингулярно збуреної задачі конвективної дифузії за умов малого масообміну для двозв’язної області, а також розв’язку сингулярно збуреної задачі конвективної гетеродифузії.

Знайдено розв’язок нелінійної сингулярно збуреної крайової задачі для системи нелінійних рівнянь трикомпонентної конвективної дифузії. Проведено дослідження нелінійного сингулярно збуреного процесу трикомпонентної конвективної дифузії з урахуванням малого масообміну та утворення речовини, що випадає в осад. Побудовано асимптотичне наближення розв’язку відповідної задачі з точністю . Розроблено відповідний алгоритм, який реалізовано в програмі. З допомогою програми проведено числові обрахунки. На основі проведених числових досліджень зроблено висновок про відносно значний вплив дифузії та масообміну на розподіл концентрації забруднюючої речовини (з часом цей вплив зростає).

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Айнс Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – Харьков: Гос. научно-тех. изд-во Украины, 1939.
Боголюбов Н. Н. Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М. : Физматгиз, 1958. – 408 с.
Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр при производных // УМН. – 1952. – Т. 7, вып. 1 (47). – С. 140-142.
Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. – М. : Высшая школа, 1990. – 208с.
Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – М. : Мир, 1968. – 464 с. 51
Каменомостская С. Л. Об уравнениях эллиптического и параболического типа с малым параметром при старших производных // Матем. сб. – 1952. – Т. 31 (73). – С. 703-708.
Бахвалов Н. С. Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М. : Наука, 1987. -451с.
Исакова Е. К. Асимптотика решения диференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического вида с малым параметром при производной// ДАН СССР. – Т. 117, №6. – 1957. – С. 935-938.
Вишик М. И., Люстерник Л. Я. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи математических наук. – 1957. – 12, Вып. 5. – С. 3-122.
Бомба А. Я., Барановський С. В., Присяжнюк І. М. Нелінійні сингулярно збурені задачі типу «конвекція-дифузія». – Рівне: НУВГП, 2008. – 252 с.
Бомба А. Я. Об асимптотическом методе приближенного решения одной задачи массопереноса при фильтрации в пористой среде // Укр. матем. журн. – 1982. – Т. 4, №4. – С. 493-496.
Бомба А. Я., Скопецький В. В., Присяжнюк И. М. Решение задач типа “конвекция-фильтрация” в многосвязных областях // Компьютерная математика. – 2004. – №2. – С. 99-104.
Бомба А. Я., Каштан С. С. Нелінійні обернення крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. – 2001. – Вип. 4. – С. 182-195.
Бомба А. Я., Пригорницький Д. О. Крайові задачі на конформні відображення для тризв’язних областей з потенціалом керування // Доповіді НАН України. – 2004. – №4. – С. 57-63.
Бомба А. Я., Присяжнюк І. М. Асимптотичне розвинення розв’язків нелінійних сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” із запізненням // Доповіді НАН України. -2005. -№3-С. 60-66.
Присяжнюк І. М., Присяжнюк. О. М. Асимптотичний метод розв’язування одного класу сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія-масообмін” у двозв’язних областях// Вісник ТДТУ. -Т. 10, №4. -2005. -С. 198-205.
Присяжнюк І. М. Асимптотичний метод розв’язування сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” у многозвязних областях// Волинський математичний вісник. Серія прикладна математика. – 2003. – Вип. 1. – С. 118-128.
Присяжнюк І. М. Чисельно-асимптотичне наближення розв’язків нелінійних сингулярно збурених крайових задач конвективної дифузії із запізнюючим аргументом // Волинський математичний вісник. – 2004. – Вип. 11. – С. 150-160.
Чапля Є. Я., Чернуха О. Ю. Про врахування нелінійного звязку між хімічними потенціалами і концентраціями в задачах гетеродифузії // Волинський математичий вісник. – Рівне. – 2001. – Випуск 8. – С. 98- 104