Економетрія

 ,(3.8)

де yi – ординати досліджуваних точок;

 i – ординати розрахункових точок, визначені за рівнянням регресії  =к хi+ b таким чином  .

Умовою екстремуму даної функції слід вважати рівність нулю часткових виробничих, узятих за параметрами К і b

 звідси  (3.9)

Скоротивши на (-2) і розкривши квадратні дужки, отримаємо систему лінійних рівнянь

 (3.10)

підставивши сюди чисельні значення відповідних величин, знайдемо параметри К і b. 

У разі лінійної залежності геометричне і алгебраїчне значення коефіцієнта регресії полягає в тому, що він кількісно характеризує на скільки в середньому змінюється у при зміні Хi на одиницю свого вимірювання. Чим більше чисельні значення коефіцієнта регресії, тим більше відносний приріст функції при  зміні аргументу.

При знаходженні параметрів параболи виду  необхідно складати і вирішувати систему з трьох нормальних рівнянь, яке розв’язується,  виходячи з вимоги методу найменших квадратів, тобто  .

Підставляючи  , маємо

 (3.11)

Знаходимо часткові похідні   і прирівнюємо їх до нуля

 (3.12)

Після відповідного перетворення маємо

 (3.13)

Не важко помітити, за яким правилом складається система нормальних рівнянь для знаходження невідомих параметрів шуканої функції.

 

3.3. Оцінка тісноти, суттєвості й лінійності (нелінійності) зв'язку між змінними

 

Тіснота зв'язку між змінними характеризується ступенем відхилення (розсіяння) досліджуваних точок біля теоретичної лінії регресії. Чим ближче окремі спостереження розташовані до теоретичної лінії регресії, тим більше повна залежність у по х.

Кутовий коефіцієнт лінійного кореляційного зв'язку між у і х, який показує, на скільки одиниць в середньому  зміниться функція, якщо аргумент збільшується (зменшується) на одиницю свого вимірювання не може служити показником тісноти зв'язку між змінними. У цьому випадку його чисельне значення залежить від прийнятих одиниць вимірювання змінних.

Для оцінки тісноти зв'язку між змінними використовується емпіричне  кореляційне відношення (η2y/х), яке є часткою дисперсії (коливаємості) функції у за рахунок впливу даного аргументу х. У даному випадку загальна (повна) дисперсія розкладається на дві частини – дисперсію усередині кожного інтервалу зміни функції σ 2y/х, яка не залежить від впливу Х, і дисперсію середніх значень функції δ , яка викликана впливом аргументу, тобто

σ2y= σ2y/х+ δ .(3.14)

Звідси формула для оцінки тісноти зв'язку між змінними має вигляд

 ,(3.15)

а в разі згрупованих даних

 ,(3.16)

де  I - розрахункове значення функції;

  - середнє значення функції за вибіркою;

n - обсяг вибірки;

к - кількість інтервалів зміни функції;

mi – число спостережень у в кожному інтервалі зміни.

Кореляційне відношення не залежить від одиниць вимірювання змінних, що вивчаються. Воно показує, яку частину загальної дисперсії  σ2y можна віднести за рахунок зміни аргументу на одну σ2х.

При цьому характеристика η2y/х тим точніше визначає частку впливу Х на загальну дисперсію у, чим менше варіюється залишкова дисперсія σ2y/х при кожному Х. Якщо ηy/х=1, то має місце функціональна залежність у від х. Якщо ηy/х=0 – у кореляційно не залежить від х.

У разі лінійної залежності змінних дисперсію середніх значень функції можна записати у вигляді

 (3.17)

Спростивши це відношення:

δy2= К2  σ2х.(3.18)

Тоді показник тісноти зв'язку для випадку лінійної залежності буде

 (3.19)

Отримане відношення служить для визначення вимірника тісноти зв'язку між змінними в разі їх лінійної залежності, і має назву коефіцієнта кореляції ry/х.

Якщо замість К підставити формулу для його обчислень  , то матимемо

 .(3.20)

Коефіцієнт кореляції показує, на яку частину середнього квадратичного відхилення або σy змінюється функція у, якщо аргумент Х збільшується (зменшується) на своє середньоквадратичне відхилення σх. Знак коефіцієнта кореляції співпадає із знаком коефіцієнта регресії, а його чисельне значення коливається в межах

-1≤ry/х≤1.(3.21)

Суттєвість коефіцієнта кореляції при заданому рівні значущості  =0,05 або 5% перевіряємо за умовою

 ,(3.22)

де t визначається за умовою 2ф(t).

Приклад. Визначити гарантійну вірогідність істотності коефіцієнта кореляції ry/х =-0,745 при n=52 спостережень.

Вирішення

 .(3.23)

При  =0,05 табличне значення t=1,96, що значно менше розрахункового. При t=12,07 довірчий інтервал в генеральній сукупності містить коефіцієнт кореляції з довірчою вірогідністю

P=2ф(12,07)=100%.(3.24)

Лінійність (нелінійність) зв'язку між змінними перевіряється шляхом:

- порівняння абсолютних значень (ry/х)= ηy/х;

- статистично з використанням довірчого інтервалу. При цьому кореляційне емпіричне відношення ηy/х повинне покриватися довірчим інтервалів для (ry/х):

 (3.25)

з довірчою вірогідністю 2ф(tα)=1-α.

Отже, якщо нерівність задовольняється при   =0,05, то приймаємо гіпотезу лінійності, якщо ж нерівність не задовольняється, то приймаємо гіпотезу нелінійної кореляційної залежності між у і х.

Приклад. Виявити лінійність (нелінійність) кореляційної залежності у разі, коли ηy/х =0,525

ry/х =0,439 і n=154 при  =0,05.

Вирішення.

Визначаємо межі довірчого інтервалу: