Портал освітньо-інформаційних послуг «Студентська консультація»

  
Телефон +3 8(066) 185-39-18
Телефон +3 8(093) 202-63-01
 (066) 185-39-18
Вконтакте Студентська консультація
 studscon@gmail.com
 facebook.com/studcons

<script>

  (function(i,s,o,g,r,a,m){i['GoogleAnalyticsObject']=r;i[r]=i[r]||function(){

  (i[r].q=i[r].q||[]).push(arguments)},i[r].l=1*new Date();a=s.createElement(o),

  m=s.getElementsByTagName(o)[0];a.async=1;a.src=g;m.parentNode.insertBefore(a,m)

  })(window,document,'script','//www.google-analytics.com/analytics.js','ga');

 

  ga('create', 'UA-53007750-1', 'auto');

  ga('send', 'pageview');

 

</script>

Коливальний рух матеріальної точки

Предмет: 
Тип роботи: 
Лекція
К-сть сторінок: 
9
Мова: 
Українська
Оцінка: 
2. КОЛИВАЛЬНИЙ РУХ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ
 
3адачі про коливальний рух матеріальної точки зустрічаються в різних галузях техніки, особливо в автоматиці. Задачі такого роду зводяться до складання і розв’язання диференціальних рівнянь руху. Залежно від характеру сил, що спричиняють коливання точки, розрізняють коливання вільні, затухаючі та вимушені.
Задачі, в яких йдеться про коливання матеріальної точки, є прикладом другої основної задачі динаміки точки.
 
2.1 Вільні коливання матеріальної точки
 
Якщо на матеріальну точку діє сила, яка старається повернути точку в попереднє фіксоване положення, то точка буде здійснювати коливальний рух.
Наприклад. Підвісимо до нижнього вільного кінця пружини, верхній кінець якої закріплений нерухомо, який-небудь тягарець і будемо повільно опускати вниз до положення статичної рівноваги, щоб він був в стані спокою.
Якщо змістимо тягарець з цього положення вверх або вниз і відпустимо його, то на тягарець буде діяти сила, яка старатиметься повернути тягарець в положення рівноваги, тоді виникнуть коливальні рухи тягарця віднасно положення рівноваги. Найбільш прості коливання-гармонічні-виникають в тому випадку, коли відповідальна сила мрямопропорційна відхиленню точки від даного центра.
Нехай точка М рухається вздовж горизонтальної прямої під дією сили  , модуль якої прямопропорційний віддалі від точки М до центра (Рис.2.1).
  
Рис.2.1
 
Виберемо початок горизонтальної осі в центрі О. Точку М зображуємо в проміжному положенні. Тоді:   , де с-коефіцієнт пропорційності. Переважно його називають коефіцієнтом жорсткості.
Запишемо диференціальне рівняння руху точки в проекції на вісь ОХ:
 ; так як  , то одетжимо:  , або  
Розділимо це рівняння на m і позначимо  ,                            (2.1)
Де величина k називається круговою або циклічною частотою вільних коливань.
Диференціальне рівняння гармонічних коливань матиме вигляд: 
                                                                                           (2.2)
Запишемо розв’язок даного рівняння:
 ,                                                                           (2.3)
де с1 і с2 – сталі інтегрування, які визначаються із початкових умов.
Нехай в початковий момент часу точка мала початкове відхилення х0; початкову швидкість  .
Отже при                                                                                   (2.4)
Продиференціюємо (2.3) по t:
                                                                      (2.5)
і підставивши (2.4) в рівняння (2.3) і (2.5) отримаємо:
 
Отже: с1=х0,                                                                               (2.6) 
Підставивши (2.6) в (2.3), одержимо рівняння вільних коливань точки:
 .                                                                         (2.7)
Дуже часто використовується амплітудна форма запису розв’язку рівняння (2.2).
Введемо замість с1 і с2 розв’язку (2.3) нові сталі А і :
                                                                     (2.8)
Тоді:      (2.9)
Амплітудою А гармонічних коливань називається максимальне відхилення точки від положення рівноваги (від точки О).
Вона досягається, коли  .
Величина, яка знаходиться під знаком синуса:                      (2.10)
називається фазою коливань, а стала  -початкова фаза.
Визначимо А і  :
 
Отже:                                                                              (2.11)
Період гармонічних коливань Т-це час, протягом якого точка здійснює одне повне коливання.
Період визначається за формулою:   .                                      (2.12)
Відмітимо, що для
Фото Капча