Коливальний рух матеріальної точки

 

3адачі про коливальний рух матеріальної точки зустрічаються в різних галузях техніки, особливо в автоматиці. Задачі такого роду зводяться до складання і розв’язання диференціальних рівнянь руху. Залежно від характеру сил, що спричиняють коливання точки, розрізняють коливання вільні, затухаючі та вимушені.

Задачі, в яких йдеться про коливання матеріальної точки, є прикладом другої основної задачі динаміки точки.

 

 

Якщо на матеріальну точку діє сила, яка старається повернути точку в попереднє фіксоване положення, то точка буде здійснювати коливальний рух.

Наприклад. Підвісимо до нижнього вільного кінця пружини, верхній кінець якої закріплений нерухомо, який-небудь тягарець і будемо повільно опускати вниз до положення статичної рівноваги, щоб він був в стані спокою.

Якщо змістимо тягарець з цього положення вверх або вниз і відпустимо його, то на тягарець буде діяти сила, яка старатиметься повернути тягарець в положення рівноваги, тоді виникнуть коливальні рухи тягарця віднасно положення рівноваги. Найбільш прості коливання-гармонічні-виникають в тому випадку, коли відповідальна сила мрямопропорційна відхиленню точки від даного центра.

Нехай точка М рухається вздовж горизонтальної прямої під дією сили  , модуль якої прямопропорційний віддалі від точки М до центра (Рис.2.1).

  

Рис.2.1

 

Виберемо початок горизонтальної осі в центрі О. Точку М зображуємо в проміжному положенні. Тоді:   , де с-коефіцієнт пропорційності. Переважно його називають коефіцієнтом жорсткості.

Запишемо диференціальне рівняння руху точки в проекції на вісь ОХ:

 ; так як  , то одетжимо:  , або  

Розділимо це рівняння на m і позначимо  ,                            (2.1)

Де величина k називається круговою або циклічною частотою вільних коливань.

Диференціальне рівняння гармонічних коливань матиме вигляд: 

                                                                                           (2.2)

Запишемо розв’язок даного рівняння:

 ,                                                                           (2.3)

де с1 і с2 – сталі інтегрування, які визначаються із початкових умов.

Нехай в початковий момент часу точка мала початкове відхилення х0; початкову швидкість  .

Отже при                                                                                   (2.4)

Продиференціюємо (2.3) по t:

                                                                      (2.5)

і підставивши (2.4) в рівняння (2.3) і (2.5) отримаємо:

 

Отже: с1=х0,                                                                               (2.6) 

Підставивши (2.6) в (2.3), одержимо рівняння вільних коливань точки:

 .                                                                         (2.7)

Дуже часто використовується амплітудна форма запису розв’язку рівняння (2.2).

Введемо замість с1 і с2 розв’язку (2.3) нові сталі А і :

                                                                     (2.8)

Тоді:      (2.9)

Амплітудою А гармонічних коливань називається максимальне відхилення точки від положення рівноваги (від точки О).

Вона досягається, коли  .

Величина, яка знаходиться під знаком синуса:                      (2.10)

називається фазою коливань, а стала  -початкова фаза.

Визначимо А і  :

 

Отже:                                                                              (2.11)

Період гармонічних коливань Т-це час, протягом якого точка здійснює одне повне коливання.

Період визначається за формулою:   .                                      (2.12)

Відмітимо, що для