Коливальний рух матеріальної точки

Предмет:

Фізика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

9

Мова:

Українська

Оцінка:

двох послідовних амплітуд дорівнює:

. (2.29)

Максимальне відхилення точки від положення рівноваги утворює спадаючу геометрочну прогресію із знаменником:

, (2.30)

який називається докрементом затухання. Його натуральний логарифм називається логарифмічним докрементом затухання:

. (2.31)

2. Випадок критичного опору n=k.

В цьому випадку корені характеристичного рівняння (2.17) будуть дійсними, рівними і від’ємними, тодто: .

Розв’язок диференціального рівняння (2.14) матиме вигляд:

(2.32)

3. Випадок великого опору: n>k.

В цьому випадку корені характеристичного рівняння (2.17) будуть дійсними, різними і від’ємними: (2.33)

Розв’язком рівняння (2.14) буде: (2.34)

В обох останніх випадках точка не буде здійснювати коливальні рухи, так як в розв’язок не входять знакозмінні періодичні функції з другого боку, із-за того, що корені від’ємні, з ростом часу відхилення точки від положення статичної рівноваги при будь-яких початкових умовах буде зменшуватися, прямуючи до нуля.

Такий вигляд руху називається аперіодичним. Його графік показаний на Рис. (2.5).

Рис. (2.5)

2.3 Вимушені коливання точки. Резонанс

Коливальний рух точки М називається вимушеним, коли на неї крім відновлюючої сили F=cx діє ще збуджуюча сила Р, що являється функцією від часу. В техніці найчастіше доводиться зустрічатись з тими силами, коли збуджуюча сила є періодичною функцією виду: /

Складаємо диференціальне рівняння руху точки: , на матеріальну точку діють сили (Рис. 2.6).

Рис. (2.6)

Тоді: .

Отже: .

Поділивши це рівняння на m і ввівши позначення , отримаємо диференціальне рівняння вимушених коливань:

. (2.35)

Розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.35) зводиться до двох розв’язків: загального – без правої частини:

, (2.36)

або: (2.37)

і частинного – з правою частиною.

Нехай . Тоді:

. (2.38)

Знайдемо значення В і D, які задовільняють рівняння (2.35).

Визначимо :

(2.39)

Підставимо (2.38) і (2.39) в рівняння (2.35);

.

Прирівнюючи коефіцієнти при і , отримаємо ; D=0.

Загальний розв’язок диференціального рівняння (2.35) має вигляд:

. (2.40)

Отже: при одночасній дії відновлюючої і збуджуючої сил матеріальна точка здійснює рух, складений з двох гармонічних коливань, з яких перше називається власним або вільним коливанням, а друге – вімушеним коливанням.

З формули (2.40) видно, що амплітуда вимушених коливань А1 рівна:

. (2.41)

При невеликій величині h, тобто при малій збуджуючій силі, амплітуда вимушених коливань досягає великої величини, якщо частота вільних і вимушних коливань k і p близькі один до одного.

Якщо k=p, то .

Це явище називається резонансом.

Якщо р=k, то частина разв’язання (2.35) знаходиться в формі:

. (2.42)

Отже, при р=k загальний розв’язок рівняння (2.35) має вигляд:

. (2.43)

Звідси видно, що при рівності частот, а отже й періодів, вільних та вимушених коливань, амплітуда точки М часом безмежно збільшується.