Коливальний рух матеріальної точки

Предмет:

Фізика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

9

Мова:

Українська

Оцінка:

вільних коливань амплітуда і початкова фаза коливань залежать від початкових умов, а частота k і період Т не залежать від початкових умов.

Графік гармонічних незатухаючих вільних коливань показаний на рис.(2.2).

Рис. (2.2)

2.2 Вільні затухаючі коливання

Нехай на точку М, яка рухається по горизонтальній прямій крім відновлюючої сили , яка пропорційна відхиленню точки від положення рівноваги, діє сила опору , яка пропорційна першій степені швидкості, тобто: . (2.13)

Коефіцієнт називається коефіцієнтом опору.

Зображаємо точку в проміжний момент часу (Рис. 2.3). Направляємо сили, які діють на точку .

Рис. (2.3)

Вибираємо вісь ОХ, початок якої вибрано в положенні рівноваги точки М.

Запишемо диференціальне рівняння руху точки: .

Перенесемо всі величини в ліву частину і розділимо рівняння на m:

. (2.14)

Ввівши позначення:

, (2.15)

Рівняння (2.14) матиме вигляд: . (2.16)

Рівняння (2.16) є однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Запишемо характеристичне рівняння:

(2.17)

і знайдемо його корені:

. (2.18)

Розв’язок рівняння (2.16) визначається значенням коренів характеристичного рівняння (2.17) а корені залежать від співвідношень між n і k.

Можливі три випадки:

1.n<k. Тоді:

, (2.19)

де .

Так як характеристичне рівняння має комплексні корені, то розв’язок запишемо у вигляді: . (2.20)

Знайдемо швидкість точки М:

(2.21)

Графік затухаючих коливань зображений на рисунку (2.4).

Рис. (2.4)

Нехай початкові умови мають вигляд при t=0: x=x0, (2.22)

Визначимо сталі с1 і с2, пілставивши (2.22) в (2.20) і (2.21):

. (2.23)

Рівняння коливального руху точки матиме вигляд:

. (2.24)

Якщо ввести нові сталі А і : , , то рівнянння (2.20) запишеться так:

.

Отже: . (2.25)

Виразимо А і через початкові умови:

; (2.26)

.

Послідовні максимальні відхилення наступають через кожні півперіоду, тобто, якщо перше із них було в момент t1, то друге – в момент .

Тоді модуль відношення