Комп'ютерне моделювання хаотичної структури та визначення теплофізичних і пружних властивостей композитів

В другій частині розглянуті перколяційні задачі і застосування фрактальної геометрії до опису структури неоднорідних матеріалів у критичній області. Вводяться означення для основних критичних індексів. Сформульовано задачу визначення провідності і пружних властивостей перколяційних систем.

Застосовано метод ренормгрупового перетворення в реальному просторі для перколяційної задачі. Розроблено алгоритм перетворення ієрархічної гратки. Суть такого алгоритму полягає в заміні геометричних або фізичних властивостей (зв'язку) на геометричні або фізичні властивості неоднорідної гратки.

В другому розділі за допомогою ренормгрупових перетворень у реальному просторі побудована структурна модель мікронеоднорідних матеріалів. Моделювання стохастичної структури композиційного матеріалу було проведено на базі гратки з випадковим розподілом їх параметрів. Суть даної моделі полягає в тому, що вузли гратки моделюють мікронеоднорідності (компоненти системи) у просторі, а зв'язки між вузлами – їх контакти з сусідами (рис. 1).

Значний вплив на властивості композиційних матеріалів роблять умови контактування між його компонентами, тому надалі розглядалась задача зв'язків.

Множина зв'язків  була отримана за допомогою ітераційного процесу, коли на початковому кроці (k = 0) розглядається кінцева гратка у просторі d = 2 або d = 3 з імовірністю   того, що зв'язок між сусідніми вузлами гратки цілий. На наступному кроці (k = 1, 2,..., n) кожний зв'язок у гратці заміняється гратками, отриманими на попередньому кроці (рис. 2, рис. 3). Ітераційний процес закінчувався, коли властивості гратки переставали залежати від номера ітерації k. Таким чином були отримані гратки із лінійними розмірами Ln, набагато більшими довжини кореляції , тобто гратки, на яких були визначені ефективні макроскопічні властивості. За допомогою ітераційної процедури була побудована основна множина   з фрактальною розмірністю  . Після цього були досліджені фрактальні множини  , коли    1.

Імовірність того, що множина зв'язків утворює з'єднуючі множини (ЗМ)   коли  1, тобто множина зв'язків, по якій можна пройти з однієї сторони гратки на другу, визначалася як відношення числа з'єднуючих множин до всього числа розкидів (до числа засобів забарвлення зв'язків) зв'язків при фіксованих значеннях   і  . Результаті розрахунків для гратки 3х3х3 показані на рис. 4. На основі описаної ітераційної процедури були встановлені геометричні характеристики з'єднуючої множини і визначені критичні індекси, що характеризують її поводження поблизу «геометричного фазового переходу» коли  .

Таким чином, варіюючи початкові розміри гратки   були одержані моделі структур (множин) з різними фрактальними розмірностями  . Були визначені критичні індекси для довжини корреляцїї та густини з'єднуючої множини, а також пороги протікання   для цих моделей. Було показано, якщо  , тоді з'єднуюча множина співпадає з перколяційним кластером.

Визначення ефективних фізичних властивостей структурної моделі в загальному випадку можна вести по такій схемі: спочатку знаходяться властивості різноманітних конфігурацій на першому етапі, проводиться їхнє усереднення, а потім ці властивості передаються на наступний етап. Визначення властивостей можливих конфігурацій множин зв'язків приводить до достатньо трудомістких обчислень. Тому ми використовували наближений метод, що полягає в тому, щоб не розраховувати властивості конфігурації, одержаних при розкидах цілих зв'язків на гратках, а виділити два види конфігурацій множин зв'язків: з'єднуючі (ЗМ) і нез'єднуючі множини (НЗМ), і перейти від дискретних моделей (на гратках) до континуальних моделей, у яких з'єднуючі і нез'єднуючі множини представляються неперервним середовищем. Для моделювання структури з'єднуючих і нез'єднуючих множин використовувалася крапельна модель (куля в однорідному середовищі – рис. 5).

Таким чином, (на кожному етапі (масштабі) ітераційного розрахунку провідності) структури зв'язаних і не зв'язаних множин моделювалися складовими “краплями”: зв'язана множина модулювалась наступним чином – у неперервному масиві із “провідної” фази, знаходиться включення у вигляді кулі (краплі) із “непровідної” фази (рис. 5а) ; незв'язана множина – у неперервному масиві, із “непровідної ” фази, знаходиться вмикання у вигляді кулі (краплі) і з “провідної” фази (рис. 5б). Концентрація зв'язаних і не зв'язаних множин на кожному етапі (k) розрахунків визначалися рівними pk = R ( k-1, pk-1) та (1 – pk), відповідно.

Ефективна провідність зв'язаних і незв'язаних множин на основі крапельної моделі (рис. 5) визначалися за допомогою формул, отриманих у фізиці неоднорідних середовищ. При цьому для ефективних фізичних властивостей неоднорідного середовища Cэф виконується

 

 . (1)

 

За допомогою описаної вище моделі композиційного матеріалу і методу поетапного усереднення була досліджена провідність композита. Провідністі зв'язаної множини   і не зв'язаної множини   при   збігається до значення ефективної провідності   композиційного матеріалу при заданому значенні   і заданих провідностях компонентів   і  .

На рис. 6 подане порівняння результатів розрахунку та експериментальних даних по провідності, що вказує на їхню добру узгодженість і обчислення критичного індексу ефективної провідності для випадку коли   дало значення  . Порівняння наших розрахунків з літературними даними показало, що розглянута схема розрахунку добре описує неоднорідні системи поблизу геометричного фазового переходу ( ), де флуктуації властивостей великі. Якщо  , то флуктуації зменшуються, і точність розрахунків зростає, що приводить до зростання узгодження розрахунків та експериментальних даних.

За розробленою методикою розрахунків фізичних властивостей були визначені пружні властивості. На рис. 7 подані залежності логарифму модуля об'ємної пружності