Логіка

Iдемпотентнiсть (A ∨ A) ↔ A

(A&A) ↔ A

Поглинання (A ∨ (A&B)) ↔ A

(A& (A ∨ B)) ↔ A

Закони Блейка-Порецького (A ∨ (A&B)) ↔ A ∨ B

(A& (A ∨ B)) ↔ A&B

 

Кожна з наведених формул представляє схему закона логi- ки, шляхом пiдстановки замiсть А та В iнших формул або про- позицiйних змiнних, також отримують закон логiки. Наприклад:

(p ∨ q) ⊃ (p ∨ q) – закон тотожностi.

 

Заперечення складних висловлювань

 

Просте висловлювання заперечити дуже просто, достатньо по- ставити перед ним частку <не> або <невiрно, що> та подiбний вираз. Заперечити складне висловлювання не завжди так про- сто. Звичайно, складне висловлювання <на вулицi йде дощ та дує вiтер> можна заперечити так само, як i просте. Отримаємо: <не- вiрно, що на вулицi йде дощ та дує вiтер>, але в такому виглядi не зовсiм зрозумiло, що саме невiрно. Здається, що на вулицi не- має доща, але дме вiтер, проте так само можна подумати, що на вулицi немає нi доща, нi вiтру. У такому випадку еквiвалентнi перетворення допомагають прояснити висловлювання.

Складемо логiчну форму вихiдного висловлювання:

p – на вулицi йде дощ;

q – на вулицi дме вiтер.

p&q

 

 

Тепер побудуємо заперечення до цiєї формули i застосуємо до неї закон де Моргана:

(p&q) ≡ (p ∨ q)

Отримали, що на вулицi не дощить, або немає вiтру. Формула,

отримана в результатi перетворення заперечення вихiдної форму- ли, може бути iнтерпретована не зовсiм так, як здалося спочатку. Звичайно, щодо погодних умов ситуацiя навряд чи стане крити- чною, але якщо йдеться про бiльш серйознi справи, легко можна потрапити у неприємну ситуацiю, невiрно зрозумiвши обставини.

Наприклад: Другокурсники кажуть, що для того, щоб добре написати контрольну з математичного аналiзу достатньо знати таблицю похiдних та iнтегралiв, але викладач сказав, що це не так. Що вiн мав на увазi?

Встановимо логiчну форму висловлювання:

p – я добре написав контрольну q – я знаю таблицю похiдних

r – я знаю таблицю iнтегралiв

((q&r) ⊃ p)

Серед наведених законiв немає такого, який би передбачав за-

перечення iмплiкативної формули. Але є закони для заперечення кон’юнкцiї та диз’юнкцiї. Крiм того, є закон, який дозволяє ви- разити iмплiкацiю через диз’юнкцiю. Скористаємося ним:

((q&r) ⊃ p) ≡ ( ( (q&r) ∨ p))

Тепер можна використати закон де Моргана, що стосується

заперечення диз’юнкцiї:

( ( (q&r) ∨ p)) ≡ ( (q&r) &p))

Тепер, очевидно, можна застосувати закон зняття подвiйного

заперечення:

( (q&r) &p) ≡ (q&r) &p

Отримали:

(q&r) &p

Така формула може бути iнтерпретована наступним чином:

<Я знаю таблицi похiдних та iнтегралiв, але погано написав кон- трольну>, а це вже привiд замислитись.

 

Розглянутi вiдношення – еквiвалентностi, суперечностi, час- ткової сумiсностi та протилежностi – симетричнi. Тобто, якщо А протилежне В, то й В протилежне А. Така симетрiя справедлива для будь-якого розглянутого вiдношення, але логiка розглядає й несиметричнi вiдношення.

 

 

Пiдпорядкування Висловлювання В пiдпорядковане висловлю- ванню А, якщо завжди, коли iстинне А, то iстинне й вислов- лювання В.

 

В таблицi iстинностi, побудованої для таких висловлювань, у всiх рядках, де висловлювання А буде набувати значення <iсти- на>, висловлювання В також буде iстинним. Якщо ж висловлю- вання А буде хибним, то В може бути яким завгодно. В свою чергу, якщо iстинним буде висловлювання В, то висловлювання А не обов’язково також буде iстинним. Фактично, iстиннiсть ви- словлювання А спричиняє iстиннiсть висловлювання В.

 

Приклад

Розглянемо висловлювання.

1. Якщо треба вивчити вiрша або прозу, то прозу я вчити не буду.

2. Не буду вчити прозу, або займуся логiкою.

Позначимо:

p – я буду вчити вiрш, q – я буду вчити прозу, r – я займусь логiкою.

Логiчна форма першого висловлювання: (p ∨ q) ⊃ q

Логiчна форма другого висловлювання: q ∨ r

Бачимо, що в першiй формулi три пропозицiйнi змiннi, а в дру-

гiй – двi. Виникає питання, скiльки рядкiв буде у спiльнiй для цих формул таблицi? Адже, якщо побудувати для першої форму- ли таблицю з 8 рядкiв, а для другої – з двох, то ми не зможемо їх порiвняти. Згадаємо, коли ми називаємо таблицю iстинностi спiльною для двох формул – коли однаковi пропозицiйнi змiннi мають однаковi стовпчики. Тому, кiлькiсть рядкiв спiльної табли- цi iстинностi визначатиметься спiльною кiлькiстю рiзних пропо- зицiйних змiнних у формулах. Побудуємо таблицю для цих фор- мул.

 

 

 

Бачимо, що завжди, коли перше висловлювання iстинне, то iстинне й друге висловлювання, зумовлене iстиннiстю першого, пiдпорядковане йому. Подiбна ситуацiя свiдчить про наявнiсть вiдношення пiпорядкування.

 

 

Логiчне слiдування

 

Логiку часто називають наукою