Логіка

& (i; i) = i

 

Диз’юнкцiя виражає можливiсть вибору. Тобто iстинним має бу- ти хоча б одне висловлювання. 

Характеристичний рядок:

∨ (x; x) = x

 

Iмплiкацiя виражає причинний зв’язок. Якщо висловлювання – основа iмплiкацiї хибне, то ї ї наслiдок може бути будь-яким.

 

 

А от коли основа iмплiкацiї iстинне висловлюванняя, то на- слiдок може бути лише iстинним. Щодо iмплiкацiї кажуть:

<З iстини – тiльки iстина, з хиби – що завгодно>

 

Характеристичний рядок:

⊃ (i; x) = x

Заперечення – унарна зв’язка, що змiнює iстиннiсне значення висловлювання на суперечне йому. Табличне означення за- перечення дуже просте. 

 

Знаючи табличнi означення логiчних зв’язок, можна визначи- ти iстиннiсть будь-якого складного висловлювання. Як ви помi- тили, два висловлювання p i q, кожне з яких може бути iстинним або хибним, дають 4 рядки таблицi. Тобто, для двох висловлю- вань iснує 4 варiанти можливих наборiв iстиннiсних значень. Для трьох – вже 8 варiантiв, для чотирьох – 16. Для розрахунку кiль- костi варiантiв використовують формулу 2n, 2 – кiлькiсть iстин- нiсних значень (в нас їх два: iстина i хиба), n – кiлькiсть пропо- зицiйних змiнних, тобто рiзних простих висловлювань у формулi.

Щоб полегшити виписування великої кiлькостi варiантiв, ко- ристуються таким способом: всю таблицю подумки дiлять навпiл, пiд першою пропозицiйною змiнною пiдписують у стовпчик поло- вину значень <i>, а другу половину <х>. Для стовчика наступної змiнної ще раз дiлять навпiл i так далi. У стовпчику останньої пропозицiйної змiнної iстиннiснi значення будуть чергуватися че- рез одне. Пiсля того, як перебрали всi можливi iстиннiснi значен- ня, можна виконувати дiї згiдно табличним означенням логiчних зв’язок.

 

 

Iнструкцiя № 1. Загальний метод побудови таблицi iстинностi

 

1 Записати логiчну форму висловлювання.

 

 

2 Пiдрахувати кiлькiсть рядкiв в таблицi за формулою 2n, де n – кiлькiсть рiзних простих висловлень у даному складно- му висловленнi.

 

 

 

3 Виписати набори значень для кожного простого висловлен- ня таким чином, щоб <i> та <x> зустрiчались однакову кiль- кiсть разiв.

 

 

 

4 Розкрити дужки за допомогою табличних означень логiчних зв’язок (результуючий стовпчик взяти в рамку).

 

 

 

 

Мета нашої побудови – результуючий стовпчик таблицi iстин- ностi. За ним встановлюється логiчна модальнiсть висловлюван- ня.

 

Логiчна модальнiсть висловлювання – це специфiчна харак- теристика висловлювання з точки зору його iстинностi чи хибностi.

 

Iснує три види логiчних модальностей:

 

ЛIВ – логiчно iстиннi висловлювання – результуючий стов- пчик яких мiстить лише значення <iстина>. Логiчно iстиннi висловлювання називають законами логiки, завжди iстин- ними висловлюваннями, тавтологiями.

 

ЛХВ – логiчно хибнi висловлювання – результуючий стов- пчик яких мiстить лише значення <хиба>. Логiчно хибнi ви- словлювання називають суперечностями.

 

ЛВВ – логiчно випадковi висловлювання – результуючий стов- пчик яких мiстить хоча б одне значення <iстина> i хоча б

одне значення <хиба>. Формули таких висловлювань нази- вають виконуваними.

 

 

Логiчнi вiдношення мiж складними висловлюваннями

 

Логiчнi вiдношення – це закономiрностi, що мають мiсце мiж iстиннiсними значеннями формул висловлювань у спiльнiй для них таблицi iстинностi.

 

Логiчнi вiдношення бувають симетричними, що не залежать вiд порядку висловлювань (еквiвалентнiсть, протирiччя, проти- лежнiсть, часткова сумiснiсть) i несиметричними, що мають мi- сце тiльки при певному порядку висловлювань (пiдпорядкування, слiдування).

 

Еквiвалентнiсть Два висловлювання називаються еквiвалентни- ми, якщо в будь-якому рядку таблицi iстинностi, побудо- ваної спiльно для формул обох висловлювань, їх значення спiвпадають.

 

Фактично, висловлювання еквiвалентнi, якщо результуючi стовпчики спiльної таблицi iстинностi для вiдповiдних фор- мул абсолютно однаковi.

 

Приклад

Розглянемо такi висловлювання.

1. Ця тварина не плазун i не ссавець.

2. Невiрно, що ця тварина плазун або ссавець. Позначимо:

p – плазун, q – ссавець. Складемо таблицю. 

Таблиця iстинностi буде спiльною для двох формул, якщо одна-

ковим пропозицiйним змiнним вiдповiдають однаковi стовпчики. Порiвнявши результуючi стовпчики обох формул, ми бачимо, що вони абсолютно однаковi, тобто в кожному рядку спiльної для двох формул таблицi iстинностi їх iстиннiснi значення спiвпада- ють. Отже, цi висловлення еквiвалентнi.

 

 

Суперечнiсть (протирiччя) Два висловлювання протирiчать одне одному, якщо в кожному рядку спiльної для них та- блицi iстинностi їх значення рiзнi.

Тобто, при побудованiй спiльнiй таблицi iстинностi для двох висловлювань, їх результуючi стовпчики не мiстять жодного спiвпадiння.

 

Приклад

Розглянемо такi висловлювання.

1. Якщо студент вiдвiдує всi лекцiї, то вiн розумiє те, про що говорить лектор.

2. Студент вiдвiдує, але не розумiє. Позначимо:

p – студент вiдвiдує, q