Асимптоти графіка функції

 

Асимптотою графіка функції називається така пряма, до якої необмежено наближається точки кривої при необмеженому віддаленні її від початку координат. Крива може наближатися до своєї асимптоти тими ж способами, як і змінна до своєї границі: залишаючись з однієї сторони від асимптоти або з різних сторін, кілька раз перетинаючи асимптоту і переходячи з однієї сторони на другу.

Розрізняють асимптоти: вертикальні, горизонтальні і похилі.

Для знаходження асимптот керуються наступними правилами:

а) Якщо при крива має розрив ІІ-го роду, тобто якщо при або при функція прямує до нескінченності (того чи іншого знаку), то пряма являється вертикальною асимптотою;

б) Крива має горизонтальну асимптоту тільки в тому випадку, коли існує скінченна границя функції при або , і ця границя дорівнює тобто, якщо або.

в) Для знаходження похилої асимптоти кривої необхідно знайти числа та за формулами:

(Необхідно окремо розглянути випадки і ). Похилі асимптоти для кривої існують в тому випадку, коли границі для знаходження та мають скінченні значення. Якщо виявиться, що , а - скінченне число, то асимптота буде горизонтальною.

Приклад. Знайти асимптоти кривої:

1) ;2) ;

3) ;4) .

Розв’язок.

1) .

а) При х=3 задана крива має нескінченний розрив, через це пряма х=3 є її вертикальною асимптотою.

б) знаходимо похилі асимптоти:

 Підставляючи знайдені значення і у рівняння похилої асимптоти, одержимо: . Інших похилих асимптот немає, так як при значення і будуть такими ж. Асимптоти кривої є прямі х=3 та .

2) (рівнобічна гіпербола)

а) Визначимо вертикальну асимптоту; для цього знаходимо ті значення х, поблизу яких необмежено зростає за абсолютною величиною. Таким значенням буде х=0, тобто це вісь Оу.

б) Знаходимо горизонтальні асимптоти

 і крива має одну горизонтальну асимптоту у=0, тобто горизонтальною асимптотою являється вісь Ох.

3)

а) Крива не має вертикальних асимптот, так як вона неперервна.

в) Знайдемо похилі асимптоти:

 Тобто при кутовий коефіцієнт асимптоти не існує, внаслідок чого, при крива не має асимптоти.

 Отже при крива має горизонтальну асимптоту у=0 (вісь Ох).

4) .

а) Крива має дві вертикальні асимптоти х=-2 і х=2, так як при вона має нескінченні розриви.

в) Похилих асимптот крива не має, так як її областю визначення являється інтервал і через це х не може прямувати до нескінченності.