Декартовий добуток множин

Оскільки відповідності є множинами, то для їхнього завдання використовують ті самі методи, що й для довільних множин.

Крім того, відповідність можна задавати (або ілюструвати) за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай А={1, 2, 3, 4, 5} і B={a, b, c, d}, а C = { (1, a), (1, d), (2, с), (2, d), (3, b), (5, a), (5, b) } – відповідність між A і B. Позначимо через 1, 2, 3, 4, 5 вертикальні прямі, а через a, b, c, d – горизонтальні прямі на координатній площині (рис. 1, а). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності

Зручним методом завдання невеликих скінчених відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч – точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a, b) належить заданій відповідності. На рис. 1, б зображено діаграму відповідності C із попереднього абзацу.

 

а) б)

Рис. 1.

 

Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R2=RR, то маємо такі відповідності C1={ (x, y) | x2 + y2 = 1}, C2 = { (x, y) | y = x2 }, C3 = { (x, y) | |x|1, |y|1}. Графіком відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C2 – квадратична парабола, а графіком C3 – всі точки квадрата з вершинами (-1, -1), (-1, 1), (1, 1) і (1, -1).

Припустимо, що CAB деяка відповідність.

Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C – областю значень відповідності C (інші позначення – С і С відповідно).

Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.

Образом елемента aPr1C при відповідності C називається множина всіх елементів bPr2C, які відповідають елементу a.

Прообразом елемента bPr2C при відповідності C називається множина всіх тих елементів aPr1C, яким відповідає елемент b.

Якщо APr1C, то образом множини A при відповідності C називається об’єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз деякої множини BPr2C.

Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об’єднання, перетин, різниця тощо.

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що D ={ (b, a) | (a, b) C}. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.

Якщо задано відповідності CAB і DBF, то композицією відповідностей C і D (позначається CD) називається відповідність H між множинами A і F така, що H = { (a, b) | існує елемент cB такий, що (a, c) C і (c, b) D }.

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.

Відповідність fAB називається функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові aPr1f відповідає тільки один елемент з Pr2f, тобто образом кожного елемента aPr1f є єдиний елемент з Pr2f. Якщо f – функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A  B і позначають f: AB або A B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= RR або функціями типу R  R.

Всюди визначена функціональна відповідність fAB називається відображенням A в B і записується як і функція f: AB або A  B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.

Відображення типу A  A називають перетвореннями множини A.

Через BA позначається множина всіх відображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента aPr1f позначають через f (a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента bPr2f позначають через f-1 (b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f: AB функція з множини A в множину B, а g: BC – функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається fg, називається функція h: AC така, що h (a) = g (f (a)) для aPr1fA і f (a) Pr1gB.

Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.

Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента bPr2f його прообраз f-1 (b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.

Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним, називається бієктивним відображенням або бієкцією.

Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.

Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли вона функцiональна, всюди визначена, сюр’єктивна та iн’єктивна.

Вiдповiднiсть iA = { (a, a) | aA } називається тотожним перетворенням, дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.

Приклад 3. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки не всі поля шахівниці зайняті фігурами.

Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового запису є відображенням. Це відображення не є ін’єктивним, оскільки йому належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26, 8).

Відповідність, за якою кожному натуральному числу nN відповідає число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.

Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною всіх векторів із початком у точці (0, 0) є взаємно однозначною.