Диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають зниження порядку

Тема 23. Диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають зниження порядку

 

23.1. Диференціальні рівняння вищих порядків

23.2. Рівняння вищих порядків, які допускають зниження порядку

 

23.1. Диференціальні рівняння вищих порядків

 

Як зазначалося вище, звичайне диференціальне рівняння-го порядку має вигляд (6.1), або, будучи розв’язаним відносно старшої похідної, вигляд

де функціявважається визначеною і неперервною в деякій областізміни своїх аргументів.

Для рівняння (6.11) має місце теорема Коші існування і єдиності його розв’язку.

Теорема. Якщо в рівнянніфункціяі її частинні похідні по аргументах неперервні в деякій області , то якою б не була точка, існує єдиний

розв’язок рівняння, який задовольняє умовам:. Ці умови називаються початковими умовами.

Розв’язок , який задовольняє даним початковим умовам, називається частинним розв’язком рівняння.

Нехай в області для рівняння (6.11) виконуються умови теореми Коші. Функція в області називаєтьсязагальним розв’язком рівняння -гопорядку,якщо вона задовольняє умовам:а)

є розв’язком рівняння при будь-яких значеннях; б) для довільних початкових умов

, де точка, існують єдині значення констант

, таких, що функціязадовольняє заданим початковим умовам.

Загальний розв’язок може бути записаний і в неявній формі . При цьому він називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Основним способом інтегрування нелінійних диференціальних рівнянь n,n-го порядку є метод зниження порядку. Розглянемо деякі типи таких рівнянь.

23.2. Рівняння вищих порядків, які допускають зниження порядку Розглянемо деякі типи рівнянь вищих порядків, які допускають зниження порядку. а) Рівняння вигляду

.(5.12)

Для знаходження загального розв’язку рівняння (6.12) його потрібно послідовно проінтегрувати разів. В результаті кожного інтегрування порядок рівняння знижується на одиницю.

Приклад 4. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Показати розв'язок

Послідовно знаходимо:

 Отримана функція і є загальним розв’язком даного рівняння в області

б) Рівняння

(6.13)

явно не містить шуканої функції і її послідовних похідних.

Вводячи нову функцію , знизимо порядок рівняння (6.13) на одиниць:

(6.14)

Припустимо, що рівняння (6.14) порядку про-інтегровано і співвідношення є його загальним розв’язком.

Підставляючи замість його значення , ми отримаємо для знаходження рівняння

розглянутого вище вигляду (6.12). Інтегруючи це рівняння послідовно разів, отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння (6.13):

(6.15)

Приклад 5. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Показати розв'язок

Умови теореми Коші для даного рівняння виконуються в області

Покладаючи, приходимо до лінійного диференціального рівняння першого порядку

Загальний розв’язок цього рівняння будемо шукати у вигляді. Знаходимо і,підставляючизначенняіврівняння,будемомати:

Виберемофункціютак,щоб.Проінтегруємоотриманерівняння:

-одинзрозв’язків.

Підставляючи знайдене значенняв рівняння (*), отримаємо рівнянняабо

інтегруючи яке, знайдемо

Отже,.Враховуючи,що,дістанемо рівняння,

інтегруючи яке послідовно двічі, будемо мати:

в) Рівняння

Отримана функція і є загальним розв’ язком вихідного рівняння.

(6.16)

явно не містить незалежної змінної . Воно допускає зниження порядку на одиницю, якщо за нову незалежну змінну взяти , а за нову невідому функцію взяти .

Оскількиє функція від , а , в свою чергу, є функцією від , то є складною функцією від і для похідних відпо отримаємо вирази:

 і т.д.

Підставляючи значення похідних в рівняння (6.16), отримаємо відносно функції рівняння -го порядку:

Якщо рівняння (6.17) проінтегровано і - його загальний розв’язок, то для відшукання загального розв’язку (інтеграла) рівняння (6.16) потрібно проінтегрувати рівняння першого порядку

звідки

(6.18)

Співвідношення (6.18) є загальним інтегралом рівняння (6.16).

Приклад 6. Розв’язати задачу Коші: .

Показати розв'язок

Умови теореми Коші для даного рівняння виконуються в області

Поклавши в рівнянні, отримаємо рівняння першого порядку відносно

функції

або

Проінтегруємоцерівняння: тобто

Використовуючи початкові умови, знайдемо сталу інтегрування.

Отже,. Сталу інтегруваннязнайдемо з початкової

умови. При цьому. Це і є шуканий частинний розв’ язок.