Геометричні характеристики плоских перерізів

Геометричні характеристики плоских перерізів

 

2.1. Статичний момент плоского перерiзу вiдносно осi. Визначення центра ваги складеного перерiзу.

2.2. Моменти iнерцiї плоских перерiзiв.

2.3. Моменти iнерцiї простих перерiзiв.

2.4. Залежнiсть мiж моментами iнерцiї при паралельному перенесеннi осей координат.

2.5. Змiна моментiв iнерцiї при поворотi системи координат вiдносно iї початку.

2.6. Головнi осi та головнi моменти iнерцiї.

2.7. Поняття радiуса iнерцiї. Головнi радiуси iнерцiї. Еліпс інерції

 

Площа поперечного перерiзу бруса є основним геометричним параметром опору при розтязі (стиску), але уже не визначає, наприклад, жорсткiсть бруса при згинi (рис.8.1). Тому виникає потреба визначати бiльш складні геометричні характеристики плоских перерізів (такі характеристики, що визначають опір бруса згинові , крученню , складному опору, а також є визначальними при розрахунках бруса на стійкість).

а)б)

Рис.8.1

 

2.1Статичний момент плоского перерiзу вiдносно осi. Визначення центра ваги складеного перерiзу

 

Розглянемо у декартовій системі координат (рис.8.2) переріз з площею ( - елементарна площинка в межах перерізу , координати якої і ).

Рис.8.2.

По аналогiї з моментом сили вiдносно осi можна записати: (8.1)

Проiнтегрувавши за площею , одержимо так звані статичні моменти площі відносно координатних осей:

(8.2)

Статичний момент площi вiдносно деякої осi дорiвнюї сумi добуткiв елементарних площин на iх координати. Одиниці вимiру статичного моменту - .

Аналізуючи (8.2), зауважуємо , що можливими є : ; ( якщо вiсь проходить через центр ваги поперечного перерiзу).

Якщо точка є центром ваги (маси) перерізу , а і - координати центра ваги, тодi статичнi моменти визначаються так:

(8.3)

Iз курсу математичного аналiзу вiдомо, що iнтеграл за всiєю площею дорiвнює сумi iнтегралiв за окремими iї складовими. Таким чином, статичний момент складеного перерiзу дорiвнює сумi статичних моментiв його складових вiдносно тiєї ж осi, тобто :

(8.4)

де - кiлькiсть простих перерiзiв, що входять до складеного.

Простим вважають перерiз, у якого вiдомо положення центра ваги (прямокутник, круг, трикутник, прокатнi

профiлi).

Враховуючи (8.3) i (8.4), можна визначати координати центра ваги будь якого складеного перерізу:

; ,(8.5)

де - та координати центра ваги (маси) - го простого перерізу з площею

 

2.2.Моменти iнерцiї плоских перерiзiв

 

Для плоского перерізу, зображеного на рис.8.2 , запишемо інтегральні вирази:

(8.6)

де та - осьові (екваторіальні) моменти інерції .

Момент iнерцiї плоского перерiзу вiдносно деякої осi дорiвнює сумі добутку елементарних площин на квадрат iх координати. Одиниці виміру для та - .

Можливими є тільки і .

В інтегральному виразі

(8.7)

- відцентровий момент інерції . Можливими є : ; ( якщо хоча б одна iз осей є вiссю симетрiї, а також вiдносно головних осей).

У полярнiй системi координат (такій, де ) існує інтегральний вираз

(8.8)

де- полярний момент iнерцiї плоского перерізу з площею відносно точки (полюса)(рис.8.2)

.Одиниці виміру - .

Між та існує зв’зок

Отже, полярний момент iнерцiї дорiвнює сумi осьових моментiв iнерцiї (якщо спiвпадають початки координат).

Враховуючи, що iнтеграл за площею дорiвнюї сумi iнтегралiв за її складовими, момент iнерцiї складеного перерiзу вiдносно даної осi дорiвнює сумi моментiв iнерцiї складових частин перерiзу вiдносно цiєї ж осi.

 

2.3 Моменти iнерцiї простих перерiзiв Визначимо моменти інерції деяких простих перерізів. Прямокутник (рис.8.3)

 

Рис.8.3.

(8.11)

Без доведення вкажемо формули , що визначають моменти інерції деяких простих перерізів.

Паралелограм. (8.12) (8.13)

Рис.8.4

Трикутник.

(8.14) (8.15)

(8.16)

Круг.

Рис.8.6

Кругле кільце.

(8.17) (8.18)

(8.19) (8.20)

Рис.8.7

Моменти iнерцiї прокатних профiлiв приведено в таблицях сортаменту (див. додатки), а інших спеціальних профілів у відповідній довідковій літературі.

 

2.4. Залежнiсть мiж моментами iнерцiї при паралельному перенесеннi осей координат

 

Дослідимо зміну моментів інерції (осьових і відцентрового) при паралельному переміщенні системи координат

(на рис.8.8 система координат зміщується паралельно в положення ).

Рис.8.8.

(8.21) (8.22)

(8.23)

Якщо вихiдна система координат складена центральними осями (такими,що проходять через центр ваги), то і , а формули (8.21),(8.22) i (8.23) набувають вигляду:

 (8.24)

Аналізуючи (8.24) зауважуємо, що:

а) найменших значень осьові моменти інерції набувають вiдносно центральних осей; б) при паралельному вiддаленнi вiд центральної осi осьовий момент інерції зростає. Приклад.

Визначимо для круга (рис.8.9):

Рис.8.9

 

2.5. Змiна моментiв iнерцiї при поворотi системи координат вiдносно iї початку

 

Прослідкуємо зміну осьових і відцентрового моментів інерції, якщо систему координат повернуто на кут відносно точки (відносно початку координат) див.рис.8.9.

Виконаємо перетворення координат, розглянувши трикутники KDE і BOE :

Рис.8.9

(8.25)

(8.26)

При поворотi системи координат.

(8.27)

Отже, при поворотi декартової системи координат вiдносно iї початку сума осьових моментiв iнерцiї залишається сталою і рівною полярному моменту інерції відносно початку координат

(8.28)

 

2.6. Головнi осi та головнi моменти iнерцiї

 

Враховуючи, що при поворотi системи координат (вiдносно початку) сума осьових моментiв iнерцiї залишається сталою, можна зауважити,що при цьому до певного положення осей один iз моментiв iнерцiї буде зростати, другий (в той самий час і на таку саму величину) буде зменшуватися. Таким чином можна знайти таку систему координат, в якiй один момент iнерцiї буде найбiльшим, а другий найменшим iз усiх можливих значень.

Таку систему координат, вiдносно якої моменти iнерцiї набувають екстремальних значень, називають системою головних осей.

Головнi осi, що проходять через центр ваги поперечного перерiзу називають головними центральними осями.

Отже, зауважуємо наступнi категорiї осей: випадковi осi, центральнi осi (проходять через центр ваги перерiзу), головнi осi, головнi центральнi осi.

Визначимо кут повороту , при якому осьовi моменти iнерцiї перерiзу набудуть екстремальних значень.

Якщо, , то необхідною умовою його екстремуму при змінномує умова

(а)

Звідки

 (8.29)

 Формула(8.29) визначає двазначення кута:іТобто(при)також має екстремальне значення.

Якщо головні осі позначити символами і , то враховуючи (8.27) вираз (а) можна записати наступним чином

 (8.30)

Отже, відцентровий момент інерції відносно головних осей дорівнює нулю.

Моменти iнерцiї вiдносно головних осей називають головними моментами iнерцiї.

Якщо, то праву систему координат повертаємо проти, а лiву за ходом годинникових стрiлок.

 Головні моменти iнерцiї визначають вирази:

.(8.31)

Виконавши нескладнi тригонометричнi перетворення вирази (8.31) можна звести до вигляду

.(8.32)

Використавши (8.29), формули (8.31) можна записати так

 (8.33)

Положення головних осей необхiдно знати для того, щоб оптимальним чином зорiєнтувати конкретний перерiз до напряму навантаження, тобто одержувати найкращий опір стержня даному навантаженню.

 

2.7. Поняття радiуса iнерцiї. Головнi радiуси iнерцiї. Еліпс інерції

 

Осьовий момент iнерцiї (наприклад ) можна виразити наступним чином

 (8.34)

Тодi

 (8.35)

де - радiус iнерцiї вiдносно осi Z .

Аналогiчно

 (8.36)

Головні радіуси інерції:

 (8.37)

Якщо головнi радiуси iнерцiї прийняти за пiвосi деякого елiпса, то можна побудувати так званий елiпс iнерцiї

(рис. 8.10).

Рис.8.10

Елiпс iнерцiї має ту властивiсть, що з його допомогою досить зручно визначати графоаналiтично момент

iнерцiї вiдносно довiльної центральної осi

(8.38)

де- відстань між даною віссю і дотичною до еліпса, що є паралельною до осі (радіус інерції відносно осі).

 

Питання для самоконтролю

 

1. Формули для обчислення координат центра маси перерізу.

2. Формули для обчислення моментів інерції прямокутника відносно головних центральних осей.

3. Моменти інерції відносно паралельних осей.

4. Дати означення : які осі системи координат називаються головними центральними осями інерції?

5. Дати означення : які моменти інерції називаються головними?

6. Формули для визначення моментів інерції для трикутника, круга, кільця.

7. Моменти інерції відносно повернутих осей.

8. Радіуси інерції. Формули для обчислення радіусів інерції.

9. Як обчислити моменти інерції для складних за формою поперечних перерізів?

10. Звідки можна взяти геометричні характеристики прокатних профілів?