Хаос і комп'ютерні мережі

 

Фрактали навколо нас всюди, і в обрисах гір, і в звивистій лінії морського берега. Деякі з фракталов безперервно змінюються, як рухаються хмари або мерехтливого полум'я, у той час як інші, подібно деревах або нашим судинних систем, зберігають структуру, придбану в процесі еволюції. Х. О. пайги і П. Х. Ріхтер. 

Геометрія, яку ми вивчали в школі і якою користуємося у повсякденному житті, сходить до Евклідом (приблизно 300 років до нашої ери). Трикутники, квадрати, круги, паралелограма, паралелепіпеди, піраміди, кулі, призми - типові об'єкти, що розглядаються класичною геометрією. Предмети, створені руками людини, зазвичай включають ці фігури або їх фрагменти. Проте в природі вони зустрічаються не так вже й часто. Дійсно, чи схожі, наприклад, лісові красуні їли на який-небудь з перерахованих предметів або їх комбінації? Легко помітити, що в відміну від форм Евкліда природні об'єкти не мають гладкістю, їхні краї зламане, зазубрив, поверхні шорсткості, поїдені тріщинами, ходами і отворами. "Чому геометрію часто називають холодною і сухою? Одна з причин полягає в її нездатності описати форму хмари, гори, дерева або берега моря. Хмари - це не сфери, гори - не конуси, лінії берега - це не кола, і кора не є гладкою, і блискавка не поширюється по прямій. Природа демонструє нам не просто вищий ступінь, а зовсім інший рівень труднощі ", - цими словами починається" Фрактальна геометрія природи ", написана Бенуа Мандельброт. Саме він у 1975 році вперше ввів поняття фрактала - від латинського слова fractus, зламаний камінь, розколотий і нерегулярний. Виявляється, майже всі природні утворення мають фрактальну структуру. Що це означає? Якщо подивитися на фрактальний об'єкт в цілому, потім на його частину у збільшеному масштабі, потім на частину цієї частини і т. п., то неважко побачити, що вони виглядають однаково. Фрактали самоподобни -- їх форма відтворюється на різних масштабах. 

Відкриття фракталов зробило революцію не тільки в геометрії, а й у фізиці, хімії, біології. Фрактальні алгоритми знайшли застосування і в інформаційних технологіях, наприклад, для синтезу тривимірних комп'ютерних зображень природних ландшафтів, для стиснення (компресії) даних (див. "Наука і життя "N 4, 1994 р.; NN 8, 12, 1995 р., N 7, 1998 р.). Далі ми переконаємося, що поняття фрактала тісно пов'язане із ще одним не менш цікавим явищем -- хаосом в динамічних системах. 

 

 

ХАОС (грец. caos) - у грецькій міфології безмежна первісна маса, з якої утворилося згодом усе існуюче. У переносному значенні -- безладдя, плутанина. Енциклопедія Кирила і Мефодія 

Коли говорять про детермінованості якоїсь системи, мають на увазі, що її поведінка характеризується однозначною причинно-наслідкового зв'язком. Тобто, знаючи початкові умови і закон руху системи, можна точно передбачити її майбутнє. Саме таке уявлення про рух у Всесвіті характерно для класичної, ньютонівської динаміки. Хаос ж, навпаки, має на увазі безладний, випадковий процес, коли хід подій не можна ні передбачити, ні відтворити. Що ж являє собою детерміні рованный хаос - здавалося б, неможливе об'єднання двох протилежних понять? 

Почнемо з простого досвіду. Кулька, підвішена на нитці, відхиляють від вертикалі і відпускають. Виникають коливання. Якщо кулька відхилили небагато, то його рух описується лінійними рівняннями. Якщо відхилення зробити досить великим - рівняння будуть вже нелінійними. Що при цьому зміниться? У першому випадку частота коливань (і, відповідно, період) не залежить від ступеня початкового відхилення. У другому - така залежність має місце. Повний аналог механічного маятника як коливальні системи - коливальний контур, або "електричний маятник". У простому випадку він складається з котушки індуктивності, конденсатора (ємності) і резистора (опору). Якщо всі три зазначених елементи лінійного, то коливання в контурі еквівалентні коливань лінійного маятника. Але якщо, наприклад, ємність нелінійно, період коливань буде залежати від їхньої амплітуди. 

Динаміка коливального контура визначається двома змінними, наприклад струмом у контурі і напругою на ємності. Якщо відкладати ці величини вздовж осей Х і Y, то кожному стану системи буде відповідати певна точка на отриманої координатної площини. Таку площину називають фазової. (Відповідно, якщо динамічна система визначається n змінними, то замість двовимірної фазової площини їй можна поставити у відповідність n-мірний фазовий простір.) 

Тепер почнемо впливати на наші маятники зовнішнім періодичним сигналом. Реакція лінійної і нелінійної систем буде різною. У першому випадку поступово встановляться регулярні періодичні коливання з тієї ж частотою, що й частота що змушує сигналу. На фазової площині такого руху відповідає замкнута крива, яка називається аттракторів (від англійського дієслова to attract - притягувати), - безліч траєкторій, що характеризують сталий процес. У випадку нелінійного маятника можуть виникнути складні, неперіодичні коливання, коли траєкторія на фазової площини не замкнеться за скільки завгодно довгий час. При цьому поведінка детермінована ної системи буде зовні нагадувати абсолютно випадковий процес - це і є явище динамічного, або детермінованого, хаосу. Образ хаосу в фазовому просторі - хаотичний аттрактор - має дуже складну структуру: це фрактал. У силу незвичайності властивостей його називають також дивним аттрактору. 

Чому ж система, що розвивається за цілком певними законами, веде себе хаотично? Вплив сторонніх джерел шуму, а також квантова ймовірність в даному випадку ні до