Інтегрування диференціальних рівнянь чисельними методами Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку

Предмет:

Математика

Тип роботи:

Інше

К-сть сторінок:

18

Мова:

Українська

Оцінка:

ЗМІСТ

Вступ

1 Постановка задачі

2 Метод Ейлера з півкроком

3 Метод Рунге-Кутта 4-го порядку

4 Результати розрахунків

Висновки

Список джерел інформації

Додаток А

Додаток Б

ВСТУП

Математика як наука виникла у связі з необхідністю рішення практичних завдань: вимірів на місцевості, навігації й т.д. Внаслідок цього математика була чисельною математикою, її метою було одержання рішення у вигляді числа.

Теперішній час характерний різким розширенням додатків математики, багато в чому пов'язаним зі створенням і розвитком засобів обчислювальної техніки.

Величезна швидкодія цифрових обчислювальних машин (ЦОМ) відкриває нові широкі можливості для застосування загальних математичних методів дослідження в проблемах фізики, механіки, техніки й багатьох інших областей.

Виняткове значення мають ЦОМ для автоматичного керування рухомими об'єктами, наприклад космічними апаратами. Велика також роль ЦОМ для розвитку самої математики. ЦОМ використовуються для рішень алгебраїчних, трансцендентних і диференціальних рівнянь, для рішення складних функціональних нерівностей і т.п.

Таким чином, створення ЦОМ знаменує рішучий стрибок по шляху прогресу точних і технічних наук нашого часу.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Дано систему диференціальних рівнянь

Задано початкові умови: і інтервал інтегрування:

Необхідно проінтегрувати рівняння методами Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку й зрівняти отримані результати.

2 МЕТОД ЕЙЛЕРА З ПІВКРОКОМ

Метод Эйлера — найбільш простий чисельний метод рішення систем звичайних диференціальних рівнянь [1, 2]. Уперше описаний Леонардом Ейлером в 1768 році в роботі «Інтегральне вирахування». Метод Ейлера є явним, однокроковим методом першого порядку точності, заснованому на апроксимації інтегральної кривої кусочно-лінійною функцією, т.зв. ламаної Ейлера.

Ламана Ейлера (червона лінія) - наближене рішення в п'яти вузлах задачі Коші й точне рішення цієї задачі (виділено синім кольором, рис. 2.1).

Рисунок 2.1 Метод Ейлера

Розглянемо диференціальне рівняння

с початковою умовою

Вибравши крок інтегрування , покладемо .

Відповідно до методу Ейлера послідовні значення шуканого рішення обчислюються по наближеній формулі

Більше точним є метод Ейлера з півкроком, при якому спочатку обчислюють проміжні значення і находять значення напрямку поля інтегральних кривих у середній крапці , тобто , а потім знаходять (рис. 2.2): .

Рисунок 2.2 Метод Ейлера з півкроком

Алгоритм метода Эйлера с полушагом:

Вводимо цілу змінну , где , і крок інтегрування за часом . Для виробляємо обчислення в циклі по :

Результати інтегрування виводимо через кожні кроків.

3 МЕТОД РУНГЕ-КУТТА 4-го ПОРЯДКУ

Метод Рунге-Кутта найбільше часто вживається при чисельному відшуканні розв’язку задачі Коші (2.1), при умові (2.2) і дозволяє одержати наближення високої точності.

Геометрично цей метод для задачі Коші також полягає в тому, що на малому відрізку [х; х+h] інтегральна крива у=у(х) рівняння (2.1) заміняється відрізком прямої, що проходить через точку (х; у(х)). Однак в основу методу покладений більше тонкий, чим у методах Ейлера, підхід до визначення напрямку цього відрізка прямій.

Нехай відрізок розділений на п рівних частин точками , і визначені наближені значення розв’язку диференціального рівняння відповідно в точках . Переходимо до відрізка й відшукання (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 Метод Рунге-Кутта

Визначаємо − напрямок дотичної до інтегральної кривої в точці , і точку перетину прямих і , тобто точку .

Знаходимо напрямок дотичної в точці : і із точки проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом : до перетину із прямою . Одержуємо точку . Знаходимо напрямок дотичної в точці : і із точки проводимо пряму з кутовим коефіцієнтом : до перетину із прямою . Одержуємо точку . Далі визначаємо напрямок дотичної в точці : .

Остаточний напрямок відрізка ламаної, що представляє наближений розв’язок задачі, буде рівним і проводимо із точки пряму , до перетинання із прямої в точці , де вважаємо наближеним значенням розв’язку в точці (рис. 3.1).

Метод Рунге-Кутта 4-го порядку здійснює наступний алгоритм:

Передбачаються заданими рівняння , початкова умова і відрізок .

1. Задаємо число п точок поділу відрізка й обчислюємо крок . Вважаємо відомими й переходимо до дії 2.

2. Нехай знайдені . Визначаємо

Якщо (k+1=n), то процес закінчений. Числа представляють наближені значення шуканого розв’язку в точках .

Якщо ж (k+1<n), то повторюємо дію 2, вважаючи вихідним .

Всі розрахунки по алгоритму зручно оформляти у вигляді таблиці.

Обчислення по методу Рунге-Кутта значно ускладнені в порівнянні з методом Ейлера, але за рахунок цього він дає меншу похибку при заміні точного розв’язку наближеним .

З теорії наближених методів відомо, що при кроці інтегрування h має місце оцінка , так що похибка одного кроку обчислень (визначення по ) має порядок (або ).

Сумарна похибка за п кроків, тобто похибка приблизного наближеного розв’язку в точці буде порядку (або ).

Звідси, якщо збільшити п у два рази, похибка приблизно зменшиться в 16 разів. Тому для оцінки наближеного розв’язку , отриманого із кроком h, повторюють обчислення із кроком 2h і за абсолютну похибку приймають число

,

де − наближений розв’язок із кроком 2h.

Наведена оцінка є оцінкою методу й не враховує похибку, отриману при округленні.

4 РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКІВ

Для інтегрування рівнянь (1.1), (1.2) були складені програми на мові С. У Додатку А - програма обчислень за методом Ейлера з півкроком по формулах (2.3), а в Додатку Б - програма обчислень за методом Рунге-Кутта 4-го порядку по формулах (3.1). Результати обчислень зведені в таблицю.

Висновки

У даній роботі розглянуті два чисельні методи інтегрування системи диференціальних рівнянь: Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку.

Наведено теоретичне обґрунтування кожного методу й алгоритми розрахунків.

Складено програми мовою С++ і наведені результати розрахунків.

Порівняння результатів, отриманих різними методами, показало, що більше точним є метод Рунге-Кутта 4-го порядку.

Список джерел інформації

Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон,
Э.З. Шувалова – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967. – 368 с.
Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. – 512 с.

Додаток А

Програма обчислень за методом Ейлера з півкроком

Додаток Б

Програма обчислень за методом Рунге-Кутта 4-го порядку