Лекція 1. Елементи лінійної алгебри

 

 

1. Матриці. Основні поняття та означення. Дії над матрицями.

2. Визначники та їх властивості.

3. Обчислення визначників 2-го та 3-го порядку.

 

 

Матрицею розмірності називається таблиця упорядкованих чисел або будь-яких інших об'єктів, що складається з m рядків та n стовпців. 

Матриці позначають великими літерами, наприклад, А, В,С, та круглими дужками, а елементи матриць позначають відповідними малими літерами з двома індексами, наприклад, аij, bij, cij.

Перший індекс і вказує номер рядка, в якому знаходиться цей елемент, другий індекс j вказує номер стовпця, який містить цей елемент. Так, елемент с43 знаходиться на перетині четвертого рядка та третього стовпця деякої матриці С.

Матриця розміру n 1 називається матрицею-стовпцем або вектором-стовпцем.

Матриця розміру 1 n називається матрицею-рядком або вектором-рядком.

Матриця розмірності називається квадратною матрицею n-порядку. Елементи в цьому випадку утворюють головну діагональ матриці.

Елементи квадратної матриці, що розташовані на діагоналі матриці, яка проходить з правого верхнього кута до лівого нижнього кута, утворюють неголовну (допоміжну) діагональ матриці. Це елементи .

Нехай задані матриці

Матриця А має розмір 3 4, матриця В розміру 2 3, матриця-стовпець С розміру 5 1, D - матриця рядок розміру 1 4, матриця К - квадратна 3-го порядку.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо усі її елементи дорівнюють 0, крім елементів головної діагоналі.

Діагональна матриця, в який на головний діагоналі стоять одиниці, а інші елементи дорівнюють нулю, називаються одиничною матрицею і позначається E.

Наприклад, 

— одинична матриця третього порядку.

 — одинична матриця четвертого порядку.

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то таку матрицю називають нульовою і позначають 0.

Якщо в матриці поміняти місцями рядки і стовпці, то дістанемо матрицю , яку називають транспонованою матрицею до матриці A і позначається Ат, а вказана операція перетворення матриці А називається транспонуванням матриці А.

Наприклад, якщо , тоді .

Дві матриці і називаються рівними, якщо:

1.вони однакового розміру;

2. та рівні їх елементи, що стоять на однакових місцях, тобто аij = bij для усіх і тa j.

 

 

Найпростішими діями з матрицями називають множення матриць на число, їх алгебраїчну суму та множення матриць.

Добутком числа на матрицю А за означенням є матриця:

Таким чином, щоб помножити матрицю А на число , потрібно кожний елемент матриці помножити на це число.

Приклад 1. Знайти добуток матриці на число 4.

Маємо 

Додавати та віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Сумою матриць А та В однакового розміру називається матриця С розміру елементи якого знаходяться так:

для всіх i та j.

Приклад 2.

1)Додати матриці

Маємо, 

2)Дано

Знайти .

Отже, додавання матриць зводиться до додавання відповідних елементів цих матриць.

Віднімання матриць визначається через дію тобто віднімання двох матриць зводиться до віднімання їх відповідних елементів. Очевидно, що додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Добутком матриці і називається матриця , елемент якої дорівнює сумі добутків i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпчика матриці В, тобто або ж

Добуток АВ матриць А та В існує лише при виконанні умов узгодженості: 

кількість стовпців матриці А (першого множника) дорівнює кількості рядків матриці В (другого множника).

Приклад 3. Знайти добуток матриць

Приклад 4. Знайти добуток матриць

Маємо 

Для добутку матриць в загальному випадку справедливе співвідношення:

 , (якщо ж, звичайно, існує кожен із добутків). Тобто, добуток не має властивості комутативності.

Якщо добуток двох матриць не залежить від порядку множників, тобто , тоді кажуть, що ці матриці комутують.

Наприклад, якщо А - квадратна матриця порядку n, E-одинична матриця порядку п, тоді АЕ = ЕА = А.

Операції додавання матриць мають властивості:

1.A+B=B+A;

2.(A+B)+C=A+(B+C);

3.A+0=0+A=A

4. Якщо A+B=0, тоді B - протилежна до A матриця.

Операції множення матриць мають такі властивості:

1. ;

2.(AB)C=A(BC);

3.AE=EA=A;

4.(A+B)C=AC+BC;

C(A+B)=CA+CB.

Квадратна матриця це результат множення цієї матриці самої на себе. 

Приклад 5. Для матриць знайти матриці А+В, , , АВ, ВА.

Розв’язання:

Помічаємо, що .

Задача 1. Підприємство випускає продукцію двох видів, використовуючи при цьому сировину трьох типів. Витати сировини на виробництво продукції задаються матрицею 

де - кількість одиниць сировини і-того типу, що використовується на виготовлення одиниці продукції j-того виду. План щоденного випуску продукції передбачає 90 одиниць продукції першого виду і 120 одиниць продукції другого виду. Вартість одиниці кожного типу сировини відповідно дорівнює 8, 5 і 10 гр. од. Визначити загальні витрати сировини V, необхідної для щоденного випуску продукції, а також загальну вартість С цієї сировини.

Розв’язання. Запишемо план випуску продукції у вигляді матриці . Тоді загальні витрати сировини планового випуску продукції можна знайти як добуток матриці S і Р, тобто:

Отже, для щоденного випуску продукції використовується 930, 390 і 540 одиниць сировини першого, другого та третього типів відповідно.

Знайдемо вартість одиниці кожного типу сировини матрицею . Тоді загальна вартість сировини: .

Як бачимо, на прикладі вище наведеної задачі, застосування матриць в задачах допомагає унаочнити, спростити і зробити обчислення більш компактними. 

Завдання для самостійної роботи:

1.Для матриць 

обчислити АВ+Е, , АВ-С.

2.Обчислити 

а) ;б) ;в)

 

 

З кожною квадратною матрицею порядку n пов’язане деяке дійсне число, яке називається визначником даної матриці або детермінантом (det A або ). Він визначається тільки для квадратних матриць.

Наприклад, позначення визначника.

Число, позначене символом і визначене рівністю називається визначником 2-го порядку.

Число, позначене символом і визначене рівністю називається визначником 3-го порядку.

Числа а11, а12,..., а33, що складають визначник, називаються елементами визначника. 

Для позначення елементів визначника використовуються подвійні індекси: аij.

Перший індекс (i) визначає номер рядка, а 2-й (j) - номер стовпчика визначника.

 

 

1.Величина визначника не змінюється, якщо його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінюють стовпчиком з тим же самим номером.

2.Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки (або два стовпчики), то визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи абсолютне значення.

3.Якщо визначник має два однакових стовпчика або два однакових рядка, то він дорівнює нулю.

4.Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то значення його дорівнює нулю. Якщо елементи деякого рядка (стовпчика) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

5.Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) помножити на одне й те ж число, то значення визначника також помножиться на це число, то значення визначника також помножиться на це число. Звідси зрозуміло, що спільний множник всіх елементів рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.

6.Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпчика) є сума двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох визначників: в першому з них на місці кожної суми лишається тільки перший доданок, а в другому – тільки другий доданок (інші елементи визначника зберігаються).

7.Значення визначника не змінюється, якщо до елементів деякого рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого паралельного рядка (стовпчика), помноживши їх попередньо на одне й те ж число.

 

 

Для обчислення визначників існують спеціальні правила. Розглянемо правила обчислення визначників 2 порядку.

Наприклад, Обчислення визначників 3 порядку (правило трикутника)

Зручно користуватися наступною схемою, тобто елементи добутків, взяті з відповідно вказаними знаками, або з'єднані відрізками (головна і друга діагональ), або утворюють трикутники.

Наприклад, 

Якщо у визначнику викреслити - тий рядок і -тий стовпчик, на перетині яких розміщено елемент , то одержимо визначник другого порядку, який називається мінором елемента . Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається відповідний йому мінор зі знаком, який обчислюється за таким правилом:

Ще одна властивість визначника.

Теорема розкладу.

8.Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпчика) на відповідні їх алгебраїчні доповнення.

Якщо за цим правилом розкрити визначник по першому рядка, то одержимо:

  

 

1.Використовуючи означення та властивості можемо обчислювати визначники.

Приклад 1. Обчислити визначник

Розв’язання. Винесемо спочатку з першого стовпця спільний множник 25 за знак визначника:  

а з другого стовпчика спільний множник –12: Потім з першого рядка знайденого визначника віднімемо його другий рядок: Тепер винесемо з першого рядка спільний множник 6:

Приклад 2. Обчислити визначник

Розв’язання. З першого рядка винесемо загальний множник 5, а із другого 7: Винесемо тепер спільний множник 7 з першого стовпчика і 11 з другого стовпчика

Приклад 3. Обчислити визначник 

Розв’язання. Виносимо за знак визначника спільні множники елементів кожного рядка: а потім третій рядок додамо до першого і другого: Розклавши знайдений визначник за елементами першого рядка, дістанемо:

Відповідь. = 10080.

Приклад 4. Обчислити визначник

Розв’язання. Винесемо спільний множник елементів другого рядка за знак визначника:  Додавши до першого рядка другий, матимемо: оскільки перший і третій рядки визначника однакові. Відповідь.  =0.

Приклад 5. Обчислити визначник

Розв’язання. Винесемо спільний множник елементів другого рядка (число 6) і спільний множник елементів третього рядка (число 2), а потім винесемо спільний множник елементів першого стовпця (число 3) і спільний множник елементів другого стовпця (число 4):

Обчисливши перетворений визначник, дістанемо  =6 2 3 4 2=288. 

Відповідь. =288.

Приклад 6. Обчислити визначник розклавши його за елементами третього рядка

Обчислюємо визначник розкладаючи його за елементами третього рядка (користуючись властивістю 8).

2. Визначники третього порядку можна обчислювати також за правилом трикутника:

Приклад 7. Обчислити визначник

Приклад 8. Обчислити визначник

Приклад 9. Розв’язати рівняння

Відповідь: -1/2; 1.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити визначники:

а) ; б) ; 

в) ; г) ;

д) ; е) .