Лекція 2. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Формула (9) може бути подана і в наступному вигляді, тобто, обернена матриця складається з алгебраїчних доповнень до елементів рядків, які записуються в стовпчики з відповідними номерами, а потім кожне алгебраїчне доповнення ділиться на детермінант матриці.

Приклад 1. Знайти обернену матрицю для матриці

Розв’язання

Покажемо спочатку, що дана матриця невироджена, тоді вона має обернену матрицю. Дійсно,

 

Знайдемо алгебраїчне доповнення елементів матриці:

 

Тоді, матриця , обернена до А, має вигляд

Перевіримо правильність отриманого результату

 

Приклад 2. Знайти матрицю , обернену до матриці

Розв’язок. Обчислимо визначник матриці А і алгебраїчні доповнення всіх елементів.

Обернена матриця має вигляд:

Матриця знайдена правильно, тому що:

Приклад 3. Знайти матрицю, обернену для матриці

Розв’язання

Так як , то дана матриця невироджена. Вичислимо алгебраїчні доповнення 

 

Аналогічно знаходимо ,

Таким чином. Обчислимо добуток Що показує правильність отриманого результату.

Приклад 4. Розв’язати матричне рівняння або ХА = В.

Розв’язання

За формулою .

Так як , то

Тому

 

 

Розглянемо систему лінійних рівнянь у матричній формі (6)

Ддя знаходження стовпця невідомих помножимо обидві частини рівняння зліва на обернену матрицю .

Так як , то остаточно матимемо або ж. З формули (10) випливає твердження: щоб знайти розв’язок системи (4), потрібно знайти обернену матрицю (це можливо, бо ), а потім помножити на матрицю В. Результат цієї дії і дає розв’язок системи (4), записаної у вигляді (10).

Приклад 1. Розв`язати систему рівнянь представивши її у вигляді матричного рівняння.

Розв’язання

Перепишемо систему у вигляді АХ=В, де

Розв`язок матричного рівняння має вигляд Х=А-1В. Знайдемо А-1. 

Маємо

Обчислимо алгебраїчне доповнення елементів цього визначника. Тоді, Отже, тобто х1=2, х2=-1, х3=1.

Відповідь: (2;-1;1).

Приклад 2. Розв’язати задану систему рівнянь методом Крамера та за допомогою матричного методу.

Розв’язок.

І. Метод Крамера. Знаходимо визначник системи , розкладаючи його за елементами першого рядка:

Знаходимо визначники.

 

Тоді:

 

ІІ. Матричний спосіб. Матриця А з коефіцієнтів при невідомих для заданої системи рівнянь має вид: .

Шукаємо алгебраїчні доповнення до кожного елемента матриці:

Щоб отримати обернену матрицю необхідно алгебраїчні доповнення до елементів рядка записати у відповідний стовпчик, попередньо поділивши їх на визначник матриці .

 . Стовпець вільних членів .

Розв’язок системи шукаємо так: Отже,

Відповідь: (2;3;-1).

 

 

Розв'язувати будь-які системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна методом Гауса (виключення невідомих).

Шукати розв’язки системи (1) будемо на основі алгебраїчних перетворень системи. Мета цих перетворень полягає в тому, що задану систему потрібно замінити новою, більш «простого» виду і щоб нова система мала ту ж саму множину розв’язків, що і задана.

Якщо дві системи задовольняють умові: множина розв’язків однієї з них співпадає з множиною розв’язків другої або обидві вони несумісні, то такі системи називаються рівносильними або еквівалентними.

Виділяємо такі елементарні перетворення:

1.перестановка місцями двох довільних рівнянь системи (1).

2.множення обох частин будь-якого рівняння системи (1) на число, відмінне від 0.

3.додавання до одного з рівнянь системи (1) іншого рівняння цієї системи, помноженого на будь-яке число.

Розглянуті елементарні перетворення системи лінійних рівнянь покладені в основу методу розв’язування систем. Цей метод був запропонований німецьким математиком Гаусом і називається метод послідовного виключення невідомих або метод Гауса.

Суть методу Гауса — зведення системи шляхом елементарних перетворень до такого вигляду системи, коли усі коефіцієнти, що знаходяться нижче головної діагоналі основної матриці, дорівнюють нулю.

Нехай нам дана система лінійних рівнянь (1). Вважаємо, що в заданій системі коефіцієнт

Утворимо множник . Помножимо на дане число перше рівняння і додамо до другого. Побудуємо число і виконаємо перетворення для ІІІ рівняння і т.д. Врешті перетворимо останнє рівняння ( ). В результаті цих дій утворилася нова система: 

Система (11) отримується в результаті виключення з системи (1) невідомого . Система (11) буде рівносильною системі (1), так як ми застосували елементарні перетворення.

В процесі такої роботи у нашій системі може з’явитися рівняння, всі коефіцієнти якого і вільний член дорівнюють 0 (рівняння виду ОХ=0). Таке рівняння задовольняється будь-яким n-вимірним вектором і не впливає на розв’язок системи. Тому ми можемо таке рівняння вивести з нашої системи, зменшивши кількість рівнянь системи. 

Наряду з такими рівняннями в системі можуть з’явитись рівняння, у яких всі коефіцієнти при невідомих є нулі, а вільний член не дорівнює нулю (рівняння виду: , ) Таке рівняння не задовольняється жодним n-вимірним вектором (не має розв’язку). А значить і система, в якій воно є, розв’язків не має. Тобто система буде несумісною. 

Отже, якщо в системі (11) не має рівняння виду , тобто вона сумісна, ми можемо застосувати до неї ще такі цикли перетворень, виключаючи невідоме , , і т.д. 

Система (12) буде рівносильна всім своїм попереднім системам, а отже рівносильна системі (1). Вважаємо, що система (12) не містить рівнянь виду .

Можливі два випадки:

1)k=n 

Отримується система виду:

В останньому рівнянні цієї системи залишиться тільки одне невідоме. Така система називається системою виду трикутника. Вона буде мати єдиний розв’язок і буде визначеною.

2)k<n (див. систему (12))

Така система буде називатися системою виду трапеції. В цій системі кількість рівнянь k буде меншою за кількість невідомих n. В цьому випадку в лівій частині даної системи залишимо точно k невідомих , а решту перенесемо в праву частину і надаємо їм значення «вільних» невідомих (вільні невідомі набувають довільні числові значення). Тоді через значення вільних невідомих ми можемо визначити значення невідомих, що залишилися в лівій частині і знайти загальний розв’язок системи. В цьому випадку система має множину розв’язків – система невизначена. Конкретний розв’язок таких систем називається частинним розв’язком.

 

 

1)Метод Гауса дозволяє знайти всі розв’язки системи (1), якщо вони існують або довести, що система (1) несумісна.

2)Якщо в системі з’являться рівняння виду , то ми маємо право вивести це рівняння з системи.

3)Якщо в системі з’являться рівняння виду , то це означає, що задана система несумісна.

4)Якщо система зводиться до виду трикутника, то така система сумісна і визначена.

5)Якщо система зводиться до виду трапеції, то така система буде сумісна але невизначена (має загальний розв’язок).

6)Метод Гауса дає можливість дослідити питання про існування ненульових розв’язків систем лінійних однорідних рівнянь. 

Покажемо це на конкретних прикладах.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь методом Гауса:

 Складемо розширену матрицю з коефіцієнтів при невідомих системи та вільних членів. Помножимо перший рядок на –1 і додамо до другого, помножимо перший рядок на –2 і додамо до третього. У першому стовпчику утворились нулі, крім першого рядка. Потім помножимо другий рядок на 5 і додамо до третього. 

 Матриця звелась до виду трикутника, отже система сумісна і визначена.

 З третього рівняння визначаємо x3, з другого x2 і першого x1.

 Відповідь: ( 1; -1; 2).

Приклад 2. Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь методом Гауса: 

 Складаємо розширену матрицю. Помножимо перший рядок на –3 і додамо до другого, помножимо перший рядок на –1 і додамо до третього. Потім помножимо другий рядок на –1 і додамо до третього:

 Ми отримали рядок, що складається з усіх нулів і маємо право виключити його з системи. Таким чином матриця звелась до виду трапеції, отже система сумісна, але невизначена.

 З другого рівняння визначаємо y через z, а з першого x через z і записуємо загальний розв’язок системи.

 Відповідь: .

Приклад 3. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

 Складаємо розширену матрицю. Помножимо перший рядок на –3 і додамо до другого, помножимо перший рядок на –5 і додамо до третього. Потім помножимо другий рядок на –1 і додамо до третього:

 Ми отримали рядок, всі коефіцієнти якого дорівнюють нулю, а вільний член не дорівнює нулю. Отже, система несумісна.

Відповідь: система не має розв’язків.

Завдання для самостійного розв’язання

1. Обчислити визначники

 

2. Розв’язати рівняння.

 

3. Знайти обернену матрицю.

 

4. Розв’язати системи методом Крамера та матричним методом.

1. 2.

4.

 

5. Розв’язати системи лінійних рівнянь методом Гауса:

а) б) в)

г) д)