Лекція 4. Похідна і диференціал функції однієї змінної

Розв’язання

1. - рівняння шуканої дотичної.

2. .

3. За означенням Або ж ; . Підставляємо значення у рівняння дотичної:  , або або .

Відповідь. .

 

 

У складеній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні позначення:

- похідна функції у по аргументу х;

 - похідна функції у по аргументу ;

- похідна функції по аргументу х.

Похідна складеної функції знаходиться за формулою де , (4)

Правило. Похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішній функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Таблиця похідних складених функцій

№ п/пФункціяПохідна

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Приклад 6 . Знайдіть похідну функції .

Розв’язання

− складена функція , де , тоді , .

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції на похідну від функції ; 

Якщо є похідною функції , то похідна від по (якщо вона існує) називається другою похідною функції або похідною другого порядку.

Позначається .

Аналогічно можна дати означення похідній 3-го, 4-го, …,n-го порядку.

Приклад 7. Знайти похідні другого порядку:

а) ; б) ; в) .

а) , .

б) ; 

в) .

 

 

Відповідно до означення похідної функції в точці маємо

Використовуючи властивість границі, рівність (1) можна записати у вигляді Де при . Отже,

З формули (6) випливає: якщо функція має похідну в точці , то приріст цієї функції в складається з двох доданків. Нехай . Тоді перший доданок у формулі (6) пропорційний , бо не залежить від , тобто лінійний відносно .

Оскільки , то перший доданок – нескінченно мала при , причому така, що відношення знову нескінченно мала при , бо .

Тому перший доданок при умові, коли , є головною частиною приросту функції в точці .

Означення. Якщо функція має в точці похідну , то добуток називається диференціалом функції у точці і позначається .

Отже, Врахувавши, що , визначимо диференціал через незалежну змінну як її приріст. Тоді дістанемо, що диференціал функції в точці визначають за формулою. Якщо функція має похідну в кожній точці інтервалу , то

З останньої рівності випливає, тобто похідна функції є частка від ділення диференціала цієї функції на диференціал аргументу. Формула (7) дає можливість обчислювати диференціали функцій, якщо відомі їхні похідні. Так, наприклад, 

 , де с – стала,

 Отже, 

Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x).

dy = f'(x) • x.

Так як , то dy = f'(x) •dx. (8)

Приклад 8. Для функції диференціал дорівнює .

Диференціалом другого порядку називається диференціал від диференціала першого порядку, тобто диференціал другого порядку функції дорівнює добутку другої похідної цієї функції на квадрат диференціала аргументу.

Приклад 9. Для функції знайти диференціал другого порядку.

 [ Геометричний зміст диференціала ]

Розглянемо диференційовану функцію , , графік якої є на рисунку 2.

З маємо. Оскільки і , то

Отже. Остання рівність має можливість дати таке геометричне тлумачення диференціала: якщо функція диференційована в точці , то диференціал функції в точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка цієї функції в точці з абсцисою , при переході від точки дотику в точку з абсцисою .

Рис.2

Зауваження. Легко помітити, що диференціал функції в точці, загалом, не збігається з приростом цієї функції в тій самій точці: , бо .

Однак при малих значеннях приріст функції наближено дорівнює диференціалу функції, тобто . Це наближення широко використовують як у математиці, так і в її застосуваннях, бо воно дає можливість легко обчислювати приріст функції з невеликою похибкою. Геометрично заміна на означає заміну дуги кривої MN відрізком прямої МК. Отже, на невеликій ділянці зміни аргументу будь-яку нелінійну диференційовану функцію можна розглядати як лінійну.

Диференціал лінійної функції збігається з її приростом. Справді,

 Застосування диференціала до наближення обчислень

З означення диференціала функції в точці х0 випливає, що де

Отже, є наближенням у точці х0, причому абсолютна похибка такого наближення прямує до нуля при . Більше того, якщо , то відносна похибка також прямує до нуля при .

 Усе сказане означає, що для диференційованої в точці х0 функції , при всіх досить малих х справджується формула

тобто (9)

Формула (9) є основою для найпростіших наближених обчислень.

Наближені обчислення коренів Нехай , x .  Оскільки для х 0 то, використовуючи формулу (9), дістанемо для х0 0 і всіх досить малих  х

 Таким чином, для всіх досить малих  х

Приклад 10. Користуючись формулою (10) , обчислимо

 Для обчислення також скористаємось формулою (10):

 

3. Наближені обчислення тригонометричних функцій

Нехай . Відомо, що Тому, використовуючи формулу (9), дістанемо для будь-якого і всіх досить малих  х. Отже для всіх досить малих  х Зокрема, при х0=0 з формули (11) дістанемо для всіх досить малих х. Якщо у формулі (11) припустити, що , то дістанемо для всіх досить малих х.

Приклад 11. Користуючись формулою (11), обчислити

Зауваження. Значення взяте із таблиці Брадіса.

Наближені обчислення логарифмів Якщо x , то . Тому для х0 0 за формулою (9) для всіх досить малих х матимемо: тобто Зокрема, при х0=1 з формули (12) випливає для всіх досить малих х.

Приклад 12. Користуючись формулою (12) обчислити ln 0,97

Наближені обчислення степенів 

Знаходити наближені значення степенів можна користуючись наступною формулою

Приклад 13. Користуючись формулою (13) обчислити .

Завдання для самостійного розв’язання

1.Знайдіть похідні функцій:

а) б) в) ;

г) д) ;е) ;є)

2.Знайти наближені значення степенів.

3.Знайти наближені значення коренів.

4.Обчислити наближено . Порівняти результат з табличним значенням.

5.Обчислити наближено .

6.Вивести формулу для наближених обчислень функції у = соsx і обчислити .

7.Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 - 4х в точці xo = 1. Виконайте схематичний рисунок.