Невизначений інтеграл

 

1.Первісна та невизначений інтеграл.

2.Властивості невизначеного інтеграла.

3.Таблиця основних інтегралів.

4.Безпосереднє інтегрування.

 

 

У диференціальному обчисленні ми розв’язували задачу відшукання похідної або диференціала заданої функції. Практика показує, що часто доводиться за заданою похідною   або, що те саме, за заданим диференціалом  знаходити функцію, від якої взято похідну, тобто розв’язувати задачу, обернену до задачі диференціювання. Наприклад, якщо нам відома швидкість   руху матеріальної точки, тобто  , а ми повинні визначити шлях  , пройдений цією точкою, то, знаючи, що  , ми саме й маємо за заданою похідною  , або  , знайти функцію  . Знаходження функцій за її похідною або диференціалом розглядають в інтегральному численні. Функцію, відновлену за заданою її похідною або диференціалом, називають первісною.

Диференційована функція, називається первісною функцією (або просто первісною) для функції  а на інтегралі  , якщо 

для кожного  .

Зауваження. Для функцій, які мають похідну на відрізку, поняття первісної вводять аналогічно.

Для функції  , первісною в усіх точках дійсно буде функція   оскільки   для кожного  . Зазначимо, що  , або  , або взагалі  , де С – довільна константа, є первісними для функції  , бо ці функції мають ту саму похідну, яка дорівнює  .

Розглянутий приклад показує, що функція, яка має первісну, має їх безліч. Покажемо, як знайти всі первісні заданої функції, знаючи одну з них.

Теорема. Якщо функція   є первісною для функції  , то множина всіх первісних для функції   задається формулою

Доведення. Легко бачити, що будь-яка функція виду   де С – деяка стала, є первісною для   Справді,

Доведемо тепер, що будь-яку первісну для   записати у вигляді   де С – деяке число.

Нехай  - первісна для  , тобто  , для кожного  . Розглянемо допоміжну функцію  , і покажемо, що вона є сталою.

Нехай  - дві довільні точки інтервалу  . За теоремою Лагранжа знайдеться точка   така, що

 Оскільки   для всіх  , і, зокрема,  , то  . Отже,  для будь яких   з  .

Отже,  , де С – деяке число, тобто, що й доводить теорему.

Сукупність всіх первісних функцій   на проміжку   називається невизначеним інтегралом функції   на проміжку  ; його позначають символом

 Цей символ читають так: «інтеграл від еф від ікс по де ікс». Символ називають знаком інтеграла, - підінтегральною функцією,  - підінтегральним виразом,  - змінною інтегрування.

Якщо   - яка-небудь первісна функції   на інтервалі  , то пишуть

де С- довільна константа.

Знаходження функції за її похідною або за її диференціалом називається інтегруванням функції. Інтегрування – дія, обернена до диференціювання. Правильність інтегрування перевіряють диференціюванням.

Наприклад, бо

 

 

 

Припустимо, що всі функції в кожній з наведених нижче формул 1-6 визначені на одному й тому самому інтервалі і мають на цьому інтервалі первісні.

1.   

2.  

3.  

4.  

5.   де  - стала.

6.  

Справедливість властивостей 1-4 легко побачити з означення поняття невизначеного інтеграла. Справді, нехай F- одна з первісних функцій  , тоді за означенням

 де   або  

Отже,

Властивості 1 і 2 доведено. Доведемо властивість 3 і 4.

Оскільки   і   є первісною для своєї похідної  , то, за означенням,

 аналогічно доводяться властивості 5 і 6.

 

 

 

З означенням інтеграла випливає, що всяку формулу для похідної конкретної функції, тобто формулу вигляду   можна записати у вигляді інтегральної формули:

 

Тому,  використовуючи це міркування і таблицю необхідних, можна скласти таблицю невизначених інтегралів:

1.  , С – константа.

2.  

3.   

4.  

5.  

зокрема,  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  

11.  

12.  

13.  

причому, якщо під коренем стоїть вираз  , то припускають, що  

Зазначимо, що формули 4, 8, 9, 10, 12, 13 справедливі лише для тих значень  , при яких знаменник не перетворюється на 0. Справедливість кожної з наведених формул можна встановити диференціюванням. Перевіримо, наприклад, формулу 4.

Тут слід розглянути два випадки:

1)Нехай  , тоді   і формула 4 набере вигляду 

Диференціюючи дістанемо

2)Нехай  , тоді   і формула 4 має вигляд 

 диференціюючи, матимемо

 Інтеграли, наведені в розглянутій вище таблиці, назвали табличними інтегралами.

 

 

Для обчислення інтегралів використовують основні властивості інтегралів та таблицю основних інтегралів. Таке обчислення інтегралів отримало назву безпосереднє інтегрування.

Приклад 1. 

Приклад 2.

Приклад 3.

Приклад 4.

Приклад 5. 

Приклад 6. 

Інтегрування складених функцій:

Приклад 7.

Приклад 8. 

Приклад 9.

Приклад 10. 

Завдання для самостійного розв’язання

1. Користуючись методом безпосереднього інтегрування, обчислити невизначені інтеграли.

а) ;б) ;

в) ;г) ;

д)