Особливі точки аналітичних функцій. Поняття ріманової поверхні

Актуальність теми. Аналітичними називають функції, які можуть бути представлені відповідними статичними рядами. Виняткова важливість класу аналітичних функцій визначається тим, що цей клас досить широкий; він охоплює більшість функцій, які зустрічаються в основних розділах математики, природознавства і техніки. Аналітичними є основні функції: показникова і логарифмічна, степенева, тригонометричні і обернені тригонометричні, гіперболічні і їм обернені функції, а також еліптичні, циліндричні та ін. Крім того, клас аналітичних функцій замкнений відносно основних операцій арифметики, алгебри і аналізу. Застосування арифметичних дій до функцій цього класу, розв’язання рівнянь алгебри з аналітичними коефіцієнтами, диференціювання і інтегрування аналітичних функцій приводять до виникнення нових аналітичних функцій. 

Особливою властивістю аналітичних функцій є те, що вони володіють важливою властивістю: кожна аналітична функція утворює одне органічно зв’язане ціле і є «єдиною» функцією у всій своій природній області існування. Ця властивість, яка в XVIII ст. вважалася притаманнаю всім функціям, набула принципового значення після встановлення в першій половині ХІХ ст. єдиної точки зору на функцію як на довільну відповідність.

Теорія аналітичних функцій була створена у ХІХ ст, в першу чергу завдяки роботам О. Коші, Б. Рімана і К. Вейєрштраса . Вирішальну роль в побудові цієї теорії зіграв «вихід в комплексну область» – перехід від дійсної змінної х до комплексної змінної z = х + iy, яка може змінюватися у довільній області комплексної площини. Теорія аналітичних функцій виникла як теорія функцій комплексної змінної. У певному розумінні саме аналітичні (а не довільні комплексні функції двох дійсних змінних х і у) слід вважати функціями комплексної змінної z. Теорія аналітичних функцій складає основний вміст загальної теорії функцій комплексної змінної, тому часто під теорією функцій комплексного змінного розуміють саме теорію аналітичних функцій.

Стан досліджень проблеми. У розвитку теорії аналітичних функцій важ-ливу роль відіграли праці Л. Ейлера, О.-Л. Коші, Б. Рімана та К. Вейєршраса. В Україні над розробкою проблем теорії аналітичних функцій працювали члени-корес-понденти АН УРСР Наум Ахієзер і М. Г. Крейн, професори Б. Я. Левін, В. О. Марченко, Г. М. Положій, В. А. Зморович, П. П. Фільчаков та ін.