Обернена матриця, алгоритм її знаходження

Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2,.... m; j= 1, 2,..., n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді називається матрицею.

 

  або  

 

Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:

 

  або  ,

 

де aij – елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає номер рядка, aj- номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n матриці А, то пишуть Аmn.

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець, – матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn= (aij) та Вmn= (bij) називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках, в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд:

 

Будь-якій квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А:

 

 .

 

За означенням

 

det A =  

 

Наприклад, якщо

 

  або  

 

Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.

Дії над матрицями:

1. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аmn – (aij) і Вmn = (bij) називається матриця Сmn= (cij) = (aij+bij). Наприклад,

2. Добутком матриці Аmn = (aij) на число k (або числа k на матрицю Amn) називається матриця Вmn= (kaij). Наприклад,

3. Різниця матриць А – В визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на – 1:

Справедливі такі властивості операцій:

а) А – В = В + А – комутативність відносно додавання матриць;

б) А + (В + С) – (А + В) + С – асоціативність відносно додавання матриць;

в) А + О – А; А – А = О – роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

г)  (βA) = (β) А – асоціативність відносно множення чисел;

д)  (А + В) = А +В – дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць;

е)  (+ β) А – А + βА – дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел.

4. Операція множення двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо ця умова не виконується, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливе.

З узгодженості матриці А з В не випливає, взагалі кажучи, узгодженість матриці В з А.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Добутком С = А В матриці Аmn – (аij) на матрицю Bnk= (bij) називається така матриця, у якої елемент сij дорівнює сумі добутків елементів j-го рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В:

 

cij=ai1b1j+ai2b2j+ … + ainbnj; C = Cmk = (cij),

i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, k.

 

Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. Наприклад, щоб визначити елемент с24, що стоїть в другому рядку і четвертому стовпці матриці С = АВ, потрібно знайти суму»добутків елементів другого рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В.

Для дій 1-4 над матрицями виконуються такі властивості (за умови, що вказані операції мають зміст) :

 

а)  (АВ) С = А (ВС) ; б)  (А) В = А (В) = (АВ) ;

в)  (A + В) С = AС + BС; г) С (A + В) = СA + СB;

д) A • О = О • А = О;

е) АЕ = ЕА = A;

е) det (A5) = det А X det 5.

 

Обернена матриця

Нехай А – квадратна матриця. Матриця A-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова

 

А А-1 = А-1А = Е.

 

Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det А=0, і невиродженою, якщо det А ≠0.

Теорема. Для існування оберненої матриці А-1 необхідно і достатньо, щоб матриця А була невиродженою. Нехай обернена матриця A-1 існує, тоді AA-1= Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det A • det A-1 = 1, тому det А ≠ 0.

Достатність. Нехай det А ≠0, тоді матриця A має обернену матрицю А-1 причому

 

де Аij – алгебраїчні доповнення елементів аij визначника матриці:

 

Дійсно, добутки AA-1 і А-1 A матриць () і () дорівнюють матриці, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (за теоремою 1), а всі недіагональні елементи – нулю (за теоремою 2). Отже, А-1А = АА-1 = Е.

Покажемо, що А-1- єдина обернена матриця. Нехай А» – ще одна обернена матриця, тоді

 

А-1 = А-1Е = А-1 (АА») = (А-1А) А» = ЕА» = А».

 

Ранг матриці

Нехай задано матрицю Аmхn= А. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж стовпців, де k – число, не більше чисел m і n, тобто k min (m, n).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку матриці А.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків ЇЇ мінор ів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці Аmхn, причому 0r (A) min (m, n) ;

2) r (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

3) для квадратної матриці n-го порядку ранг дорівнює n тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k – 1.

Вказаний метод знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленням значного числа визначників. Простіший метод ґрунтується на тому, що ранг матриці не змінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення, а саме.

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими х1 х2,..., хn називається система виду

 

Числа аij, і = 1, 2,.... m; j = 1, 2,..., n біля невідомих називаються коефіцієнтами, а числа bi – вільними членами системи ().

Система рівнянь () називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю, і неоднорідною, якщо хоч один з них відмінний від нуля.

Множина чисел а1, а2,..., аn називається впорядкованою, якщо вказано порядок слідування цих чисел, тобто вказано, яке з них є першим, яке другим, яке третім і т. д. Наприклад, якщо впорядкована трійка чисел, то в запису а, b, с число а вважається першим, b – другим, с – третім, в запису b, а, с першим е число b, другим – число а і третім – число с.

Упорядкований набір n чисел ( ) називається розв'язком системи (), якщо при підстановці цих чисел замість невідомих х1, x2,..., хn усі рівняння системи перетворюються в тотожності. Таку систему чисел називають також n-вимірним вектором, або точкою n-вимірного простору.

Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, тобто існує тільки один набір n чисел  , який перетворює всі рівняння системи () в тотожності.

Сумісна система називається невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв'язок.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв'язків. Еквівалентні системи дістають, зокрема, внаслідок елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь відповідають елементарним перетворенням матриці за умови, що вони виконуються лише над рядками матриці.

Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Нехай задано систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими х і у:

 

Виконаємо такі елементарні перетворення системи () : спочатку помножимо перше рівняння на а22. Друге – на -а12, а потім складемо їх; після цього перше рівняння помножимо на а21, а друге – на – а11 і складемо їх. Дістанемо систему

 

Систему () можна записати за допомогою визначників:

 

 ,

 

де

 

Визначник  , складений з коефіцієнтів системи (), називається визначником системи. Визначники  у та  х утворюються з визначника відповідно заміною стовпців при невідомих х та у вільними членами.