Проекції площини та поверхонь

11.1 Задання площини на плані. Масштаб уклону (нахилу) площини. Градуювання площини.

11.2 Проекції топографічної (земної) поверхні.

 

 

В проекціях з числовими позначками поширеним є задання площини прямою лінією і величиною уклону площини. На рис. 2.11 площина задана горизонтальною прямою і величиною уклону площини, а на рис. 2.12 – прямою загального положення і величиною уклону площини.

 

Рис. 2.11.

 

Рис. 2.12.

 

Особливий випадок задання площини на плані – задання масштабом уклону площини. Масштабом уклону площини називається проградуйована проекція лінії найбільшого уклону площини. Лінія найбільшого уклону площини – пряма, перпендикулярна до горизонталей площини.

 

На рис. 2.13 пряма МN – лінія найбільшого уклону, яка проведена в площині γ перпендикулярно до горизонталей 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 площини γ. Оскільки на прямій МN визначені точки з цілочисельними числовими позначками, то вона є про градуйованою. Її горизонтальна проекція М0N3 або γі є масштабом уклону площини γ, яка задає площину γ на плані. Так, на рис. 2.14 площина γ задана масштабом уклону площини γі, тобто про градуйованою проекцією лінії найбільшого уклону цієї площини.

 

Рис. 2.13.

 

По лінії найбільшого уклону, наприклад в земляних укосах, прагнуть скочуватися дощові краплини; кут ν (рис.

2.13),  що  утворює  ця  лінія  з  горизонтальною  площиною  є  найбільшим  серед  всіх  можливих  кутів  нахилу

будь-яких інших прямих, проведених в площині.

 

Інтервал та уклон площини дорівнює відповідно інтервалу та уклону лінії найбільшого уклону даної площини.

 

Градуювання площини

 

Градуювання площини – це проведення горизонталей площини, що мають цілочисельні числові позначки.

 

Градуювання площини, що задана горизонтальною прямою та величиною уклону площини

 

На рис. 2.15, 2.16 наведено градуювання площин, що задані горизонтальними прямими та величиною уклону площин. Розв'язування цих двох прикладів здійснюється аналогічно:

 

Рис. 2.15.

 

Рис. 2.16.

 

1. Проводимо лінію найбільшого уклону (ЛНУ) площини, перпендикулярно до заданої горизонталі цієї площини

(на рис. 2.15 – до горизонталі 7.0, на рис. 2.16 – до горизонталі 7.2);

2. Градуюємо ЛНУ площини; на рис. 2.16 точка з числовою позначкою 7.0 на ЛНУ віддалена від точки 7.2 на відстані   ;

3. Через точки ЛНУ, що мають цілі числові позначки(6.0, 5.0, 4.0), проводять перпендикулярно до ЛНУ горизонталі площини з відповідними числовими позначками, тим самим виконуючи операцію градуювання площини.

Градуювання площини, що задана прямою загального положення та величиною уклону площини.

Така площина є дотичною до поверхонь прямих кругових конусів, твірні яких мають уклон, рівний уклону самої площини, а вершини конусів знаходиться на прямій загального положення. Лінія, по якій ця площина дотикається до поверхонь конусів, є лінією найбільшого уклону даної площини.

Розглянемо  приклад  на  градуювання  площини  (рис.  2.17),  що  задана  прямою  загального  положення  і величиною уклону площини.

 

Рис. 2.17.

 

Розв'яжемо цю задачу спочатку на наочному зображенні (рис. 2.18). В точках А і В знаходяться вершини прямих кругових конусів,  висоти яких дорівнюють відповідно 1м і 2м, твірні яких мають уклон 1:1, що дорівнює уклону самої площини, яку потрібно проградуювати. Точка А1 – центр основи конуса з вершиною в точці А. Всі точки основи цього конуса мають числову позначку 0.0, оскільки знаходяться в площині πо. Твірні цього конуса повинні мати уклон 1:1. Оскільки висота конуса АА1=1м, то твірні будуть мати уклон 1:1 тільки при  радіусі основи конуса R1=1м. Точка В2 – центр основи конуса з вершиною в точці В. Всі точки основи цього конуса також мають числові позначки0.0, оскільки знаходяться в площині πо. Твірні цього конуса також повинні мати уклон

1:1. Оскільки висота конуса ВВ2=2м, то твірні цього конуса будуть мати уклон 1:1 при радіусі основи конуса

R2=2м (див. рис. 2.18).

 

Рис. 2.18.

 

Горизонталь даної площини з числовою позначкою 0.0 є дотичною до кіл основ прямих кругових конусів, всі точки яких мають числові позначки 0.0, а вершини конусів знаходяться в точках А і В.

 

Горизонталь площини з числовою позначкою 1.0 буде проходити через точку А, що віддалена від площини πо на 1м, дотично до кола конуса з центром в точці В1, який також віддалений від площини πо на 1м. Всі точки цього кола з центром В1  будуть мати числові позначки 1м, а площина кола паралельна до  площини кола з центром В2. Радіус даного кола R3=1м (рис. 2.18).

 

Таким чином, на наочному зображенні (рис. 2.18) виконане градуювання площини, що задана на рис. 2.17.

 

На основі побудов, виконаних на наочному зображенні, зробимо наступні узагальнення. Горизонталі площини

– це прямі площини, дотичні до кіл прямих кругових конусів, які мають однакові числові позначки. Ці кола

конусів, площин и яких паралельні чи лежать в πо, називаються горизонталями конуса.

 

Радіуси горизонталей  конусів,  що  мають  числові позначки  горизонталі  площини,  яку  потрібно  провести,

визначають за формулою:

 

                                                       (2.5)

 

де h –  різниця числових  позначок між відомою числовою позначкою точки  площини,  в  яку  встановлена вершина конуса і числовою позначкою горизонталі, яку потрібно провести; l – інтервал площини, який чисельно дорівнює інтервалу лінії найбільшого уклону цієї площини.

 

На рис. 2.19 наведено розв'язування задачі (рис.2.17) на плані:

 

Рис. 2.19.

 

1. Проводимо горизонталь площини з числовою позначкою, що дорівнює 0.0. Для цього проводимо горизонталі конусів, які мають нульову числову позначку, і вершинами, що знаходяться в точках А і В:

 

;    .

 

2. На плані з точок А1 і В2 проводимо горизонталі конусів радіусами відповідно R1 i R2. Ці горизонталі конусів мають числову позначку 0.0.

 

3.  Проводимо  дотичну  до  горизонталей  конусів  з  нульовою  числовою  позначкою.   Це  дотична  буде горизонталлю площини з числовою позначкою 0.0.

 

4. Для того, щоб провести на плані горизонталь площини з числовою позначкою 1.0, спочатку з точки В2 проводимо горизонталь конуса з числовою позначкою 1.0, яка має радіус   . На наочному зображенні (рис. 2.18) це є горизонталь конуса з центром в точці В1.

 

5. З точки А1 (на наочному зображенні це точка А), що має числову позначку 1.0, проводимо дотичну до горизонталі конуса радіуса R3. Ця дотична  і буде горизонталлю площини з числовою позначкою 1.0.

 

Слід зазначити, що при градуювання площини не обов'язково будувати горизонталі конусів при проведенні чергової горизонталі площини. Достатньо, наприклад, провести горизонталь площини з числовою позначкою 0.0, потім перпендикулярно до цієї горизонталі провести ЛНУ площини, визначити на ній точку з числовою позначкою

1.0 і через w. njxre провести горизонталь площини з  числовою позначкою 1.0. Можна  спочатку  накреслити горизонталь площини з  числовою позначкою  1.0, потім  перпендикулярно до  цієї  горизонталі  провести  ЛНУ

площини, визначити на ній точку з числовою позначкою 0.0і через цю точку провести горизонталь площини з

числовою позначкою 0.0. Головне при градуюванні площини загального положення побудувати в цій площині хоча б одну горизонталь, що дозволить провести ЛНУ площини.  Проградуювавши ЛНУ площини,  можна  провести потрібну кількість відповідних горизонталей площини, тобто виконати операцію градуювання площини.

 

На рис. 2.11, 2.12, 2.15-2.19 стрілка, біля якої вказують величину уклону площини, направлена в бік горизонталей  площини  з  меншою  числовою  позначкою,  перпендикулярно  до  них  або  паралельно  до  ЛНУ площини.

 

 

Земна  (топографічна)  поверхня  в  проекціях  з  числовими  позначками  або  на  планах  зображується  за допомогою горизонталей земної поверхні, які отримані шляхом перетину земної поверхні горизонтальними площинами, котрі відстоять одна від одної на відстані, як правило, 1 м.

На  рис.2.20  зображено профіль  1-1  частини  земної  поверхні  з  підвищенням.  Ця  земна  поверхня  уявно розсічена горизонтальними площинами ω0, ω1, ω2, ω3, що мають числові позначки відповідно 0.0, 1.0, 2.0, 3.0. Площина ω0 збігається з площиною нульового рівня πо. Лінії перетину цих площин із земною поверхнею є, в загальному випадку, замкненими кривими лініями, всі точки яких мають однакові числові позначки. Ці лінії називаються горизонталями земної поверхні і проектуються на площину πо в натуральну величину. За взаємним положенням горизонталей земної поверхні і за їх числовими позначками можна судити про рельєф місцевості, що зображується.

 

Рис. 2.20.

 

Для побудови профілю рельєфу земної поверхні, наприклад профілю 1-1 (рис. 2.20), по заданому напряму 1-1,  земну  поверхню перетинають вертикальною  площиною  і  будуть  лінію  перетину  цієї  площини  із  земною поверхнею,  тобто  профіль  земної  поверхні  –  це  лінія  перетину  земної  поверхні  вертикальною  площиною (вертикальний переріз земної поверхні). Для цього на напряму  1-1 відмічають точки  перетину горизонталей земної поверхні з слідом вертикальної площини на плані, що збігається з напрямом 1-1. Потім будують профілі цих точок, відкладаючи їх висоти (числові позначки) від осі х, яка для зручності побудови профілю віддалена від 1-1, хоча в дійсності вісь х збігається з напрямом 1-1, оскільки є лінією перетину вертикальної площини π з площиною πо.