Звичайні диференціальні рівняння

8.1 Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння із змінними, що відокремлюються

8.2 Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі

 

 

В процесі вивчення явищ природи, розв'язання важливих задач техніки, фізики, хімії, біології та інших наук, пошук зв'язку між одними величинами (функціями) і швидкостями їх зміни відносно інших (незалежних) змінних величин, приводить до складання та розв'язання рівнянь, у яких невідомі функції входять під знак похідної або диференціала. Такі рівняння називаються диференціальними рівняннями. Зупинимось на звичайних диференціальних рівняннях – рівняннях відносно функції однієї змінної y = f(x).

 

Звичайним диференціальним рівнянням називається співвідношення

 

F(x; y; y'; y''; ... ;y(n)) = 0,

 

яке пов'язує між собою незалежну змінну x, невідому функцію цієї змінної     та її похідні y'; y''; ...;y(n) (або диференціали). Функція Fвважається визначеною і неперервною в деякій області      зміни своїх аргументів.

 

Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, яка в нього входить. Наприклад,

рівняння y'+x2y + x = 0 = 0 – першого порядку, рівняння y''+xy' = ex  – другого порядку тощо.

 

Розв'язком диференціального рівняння на інтервалі (a; b) називається неперервно диференційовна функція y

= y(x), яка задовольняє умовам:

 

а) вона неперервно диференційовна на (a; b) n разів;

 

б)   для всіх   ;

 

в) y(x) перетворює рівняння в тотожність.

 

Наприклад, функція y = sin x + cos x  є розв'язком рівняння y'' + y = 0. Справді, вона визначена, неперервна і неперервно диференційовна  на  інтервалі                ,  при  підстановці  значень  y та  y'' в  дане  рівняння  воно

перетворюється в тотожність.

 

Якщо розв'язок рівняння задано неявно співвідношенням Ф(x;y) = 0, то його називають інтегралом цього рівняння.

 

Графік розв'язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

 

Процес знаходження розв'язків називається інтегруванням диференціального рівняння. Задача інтегрування диференціального рівняння полягає в знаходженні всіх розв'язків цього рівняння і вивченні їх властивостей.

 

Диференціальні рівняння першого порядку

 

диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення

 

F(x; y; y'') = 0.

 

В ряді випадків рівняння вдається записати у вигляді

 

y' = f(x; y),

 

де f(x;y) – задана функція двох змінних.

 

Рівняння називається диференціальним рівнянням, розв'язаним відносно похідної. Рівняння першого порядку може бути задане в так званій диференціальній формі P(x; y)dx + Q (x; y)dy = 0,

 

де P(x; y) і Q (x; y)– задані функції двох змінних.

 

Для рівняння має місце теорема Коші існування і єдиності його розв'язку.

 

Теорема. Якщо в рівнянні y' = f(x; y) функція f(x; y) і її частинна похідна    неперервні в деякій області D площини XOY, яка містить точку (x0; y0), то існує єдиний розв'язок y = y(x) цього рівняння, який задовольняє умові: y = y0 при x = x0. З геометричної точки зору існує єдина функція y = y(x), графік якої проходить через точку (x0; y0).

 

Умова y = y0 при x = x0 називається початковою умовою і позначається так:   або y(x0) = y0.

 

Задача знаходження розв'язку y = y(x) диференціального рівняння, який задовольняє заданій початковій умові

y(x0) = y0, називається задачею Коші.

 

Нехай D – область на площині XOY, в кожній точці якої рівняння має єдиний розв'язок. Загальним розв'язком диференціального рівняння в області D називається функція y = y(x; C), яка задовольняє умовам:

 

а) вона є розв'язком заданого рівняння при довільних значеннях сталої C;

 

б) для будь−якої початкової умови y(x0) = y0 (точка   ) існує єдине значення сталої C = C0 , таке, що функція y = y(x; C0) задовольняє заданій початковій умові, тобто, y0 = y(x0; C0).

 

Частинним  розв'язком  диференціального  рівняння  називається  розв'язок,  отриманий  із  загального розв'язку при конкретному значенні C. Наприклад, загальним розв'язком рівняння y' = x2 є функція  

. Частинними розв'язками є   тощо.

 

Розглянемо основні типи диференціальних рівнянь першого порядку і способи їх інтегрування.

 

Рівняння з відокремлюваними змінними

 

Рівняння y' = f(x; y) називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо його можна подати у вигляді

 

,

 

де φ(x) i ψ(y) і – функції, неперервні в області   .

 

Щоб відокремити змінні в рівнянні , помножимо  його  обидві  частини на    .  В результаті  отримаємо рівняння з відокремленими змінними

 

 ,

 

інтегруючи яке, знайдемо загальний інтеграл рівняння :

 

.