Історія множин

Розвиток математики протягом XIX століття характеризується прагненням до систематизації, до встановлення єдності в різноманітті математичних фактів і методів, на перший погляд досить далеких один від одного, а також критичним з'ясуванням і струнким обґрунтуванням фундаментальних понять. Ці тенденції досягають найбільш повного вираження в арифметизации математики й формуванні теорії множин.

Кульмінаційним пунктом цієї течії математичної думки була побудова теорії дійсних чисел (Больцано, Вейерштрасс, Дедекінд, Кантор).

Поняття числа поступово усвідомлюється як фундаментальне поняття всієї математики, і зокрема – геометрії. Через методологічну установку на арифметизацію математики особливого значення набуло завдання обґрунтування арифметики. Найважливішу роль у його вирішенні зіграло становлення теоретико-множинних уявлень.

Побудова теорії множин, основним творцем якої став Г. Кантор, стала найважливішим підсумком розвитку математики XIX століття. До її створення вели різні течії математичної думки, але найбільш важливим джерелом теоретико-множинних ідей і методів були дослідження з основ математики, головним чином дослідження з обґрунтування класичного аналізу й теорії функцій (теорія тригонометричних рядів). У другій половині XIX ст. поняття аналізу й теорії функцій поступово переводяться на мову теорії множин. Основним поняттям для останньої є поняття актуально нескінченної безлічі. Під теоретико-множинним методом у математиці розуміється відомість тієї або іншої математичної проблеми до вказання відповідної нескінченної множини або декількох таких множин, до вивчення властивостей цих множин і наступному вирішення розглянутої проблеми вже на основі вивчених властивостей зазначених множин.

Важливу роль у теоретико-множинному обґрунтуванні зіграв Р. Дедекінд. Його робота «Що таке числа і для чого вони служать» присвячена обґрунтуванню поняття натурального числа засобами теорії множин. Створення теорії множин означало революцію в історії математики.

А. Френкель розцінює завоювання актуальної нескінченності методами теорії множин як розширення нашого наукового обрію, не менше за значенням, ніж Коперникова система в астрономії й теорія відносності або квантова теорія у фізиці. Теорія множин дала універсальний метод, який став основою для наступного розвитку математики в цілому. Зростання абстрактності мислення й підвищених вимог до строгості поступово зближали математику з такою дисципліною, як логіка.

Зближення математичної теорії множин з логікою сприяла небачена ще в історії математики ступінь абстрактності нової дисципліни. Уже в Кантора багато понять відносилися до всіляких об'єктів мислення (поняття безлічі, підмножини, взаємооднозначної відповідності, потужності і т. д.) і внаслідок цього ставилися в один ряд із загальнологічними поняттями. У Дедекінда операції над множинами й закони цих операцій перетворилися у формально-логічні операції та їх закони. Цей процес зближення теорії множин з логікою поглиблювався й далі.

Зв’язок математики з арифметикою, обґрунтування останньої за допомогою абстрактної теорії множин, поняття якої рівнозначні по своїй спільності з поняттями логіки, означало вихід до логічного обґрунтування математики. Цьому чимало сприяли успіхи самої логіки. Видатне місце в її розвитку належить «Основам арифметики» й «Основним законам арифметики, отриманим за допомогою обрахування понять» Г. Фреге, а також ряду робіт Пеано, Пірса й інших логіків. Нова логіка залучає усе більшу увагу математиків, які зіштовхнулися в ході досліджень з основ математики з рядом явно логічних проблем.

Найбільший німецький математик і логік Фреге застосовує математичну логіку як метод обґрунтування арифметики. Так, засобами розширеного обрахування предикатів він формалізував теорію множин. Визначивши математичні поняття «числа» й «кількості» у термінах логічних понять «класу» й «відношень» (правда, у визначенні цих термінів неявно присутнє те ж саме число), Фреге представив математику як продовження логіки.

Подальшим розвитком і найвищою точкою цих зусиль стало тритомне дослідження Principia Mathematica (1910-1913) Рассела й Уайтхеда. Із цього часу символічна логіка стає незамінним засобом дослідження основ математики. До кінця XIX ст. були досягнуті вже настільки значні успіхи в систематизації й строгому обґрунтуванні математики, що здавалося: ця важка робота близька до завершення.

Після робіт Г. Кантора математиками, за словами Германа Вейля, заволоділо переконання, що «грандіозний будинок аналізу здобуває незламну міцність, виявляючись міцно закладеним і строго обґрунтованим у всіх своїх частинах». Ця картина нагадує ситуацію у фізиці, де до початку 90-х років установилася думка, начебто стрункий будинок класичної фізики майже повністю завершено й залишається доробити лише деякі деталі. І всупереч очікуванням незабаром вибухнула «криза фізики», яка поставила під сумнів її обґрунтування на базі механіки Ньютона. Не менш драматичними були події й у математиці. Не встигла теорія множин сформуватися як самостійна наука, як виникла несподівана перешкода.

Уже при житті Кантора, у період, коли очікувався небувалий тріумф теорії множин, у ній виявили парадокси або антиномії. Перший парадокс в 1895 р. установив сам Кантор і повідомив про нього в листі до Гільберта. Цей історично перший парадокс теорії множин носить досить специфічний характер і відноситься до проблеми трансфінітних чисел. У 1899 р. Кантор відкриває ще один парадокс і повідомляє про нього в листі Дедекінду. За відкриттям цих двох парадоксів абстрактної теорії множин пішла ціла серія інших. Одним із завдань своєї наукової діяльності Кантор вважав усунення парадоксів, але це йому не вдалося: число парадоксів із часом не тільки не зменшувалося, але, навпроти, продовжувало зростати.

Парадокси фіксували внутрішні логічні труднощі теорії множин, які лежать у самих її основах – фундаментальних поняттях і способах міркування. Виниклу ситуацію називають кризою основ математики. Парадокси виявилися саме в абстрактній теорії множин, яка, по суті справи, зростається з формальною логікою. У зв'язку із цим не дивно, що незабаром після парадоксів теорії множин був виявлений цілий ряд їх логічних «двійників». Під ударами виявлених парадоксів виявилася логіко-математична система Фреге. У 1902 р. у першому томі «Основних законів арифметики», було знайдене протиріччя, яке одержало назву парадокса Рассела-Цермело. Справа в тому, що визначення множини, запропоноване Кантором, дозволяло розглядати як елементи множин об'єкти будь-якої природи. Такими – крім індивідуальних предметів – могли виступати й усілякі множини, у тому числі допускалося, що множина може включати як свій елемент і саму себе. У зв'язку із цим стало можливим підрозділити множини на такі, які не містять себе як елемент (стандартні множини), і такі, які включають у число своїх елементів і себе (нестандартні безлічі). Труднощі виникають, якщо порушити питання, до якого із двох типів відноситься множина всіх стандартних безлічей, оскільки можливі дві взаємовиключних відповіді.

Найбільш гостро криза основ математики виявилася у виявленні протиріч. Це викликало буквально психологічний шок, повалило в розпач найбільших дослідників підстав математики Кантора, Дедекінда, Фреге та ін. Стан розгубленості виявилося затяжним. Навіть через багато років після опублікування Расселом свого знаменитого парадокса, Г. Вейль із гіркотою відзначав: «Зараз ми менше, ніж будь-коли, упевнені в первинних основах математики й логіки. Ми переживаємо свою «кризу» подібно тому, як переживає її усе в сучасному світі. Криза ця триває от уже п'ятдесят років (ці рядки написані в 1946 р.).

 

 

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.

Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики (Логические исследования и формальная арифметика). – Т. 1. – М. : Наука, 1979.

Клайн М. Математика. Утрата определенности. М. : Мир, 1984.

Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX веке. М., 1965.