Опуклість та вгнутість графіка функції. Точки перегину

Предмет:

Математика

Тип роботи:

Лекція

К-сть сторінок:

Мова:

Українська

Оцінка:

Опуклість та вгнутість графіка функції. Точки перегину

1. Опуклість та вгнутість графіка функції

Означення. Графік неперервної диференційованої функції, називається опуклим вгору на інтервалі, якщо похідна спадає на . А якщо зростає на , то графік цієї функції називається опуклим вниз або вгнутим.

На рисунку 1 крива опукла на, вгнута на.

Рис.1

Якщо графік функції опуклий вгору, то всі його точки знаходяться нижче будь-якої його дотичної, оскільки кутовий коефіцієнт дотичної зменшується із зростанням х. А якщо графік опуклий вниз, то всі точки знаходяться вище будь-якої її дотичної (крім самої точки дотику).

Означення. Інтервали, на яких графік функції опуклий вгору або вниз, називаються інтервалами опуклості графіка функції.Теорема. (Достатні умови опуклості графіка функції)

Нехай функція, має першу і другу похідні.

Тоді, якщо для всіх, то на інтервалі графік функції опуклий вгору, якщо ж для всіх , то графік функції опуклий вниз на .Сформулюємо тепер правило знаходження інтервалів опуклості графіка функції.

Нехай функція, має в інтервалі похідні другого порядку включно, крім, можливо, скінченного числа точок, і має не більше скінченного числа нулів в інтервалі .

Тоді для знаходження інтервалів опуклості графіка функції потрібно:

1.Знайти всі точки, в яких або , або не існує (ці точки називаються критичними точками функції за другою похідною).

2.В кожному з інтервалів, на які розбивається інтервал критичними точками, знайденими в першому пункті даного правила, встановлюється знак .

Якщо в даному інтервалі , то на цьому інтервалі графік функції опуклий вниз, якщо ж , то опуклий вгору.

Приклад 1. Знайти інтервали опуклості графіка функції .

Розв’язання. Задана функція на всій числовій прямій має похідні і . Отже, маємо одну критичну точку за другою похідною. Вона розбиває числову пряму на два інтервали і .

Оскільки для всіх і для всіх , то графік функції опуклий вниз на інтервалі і опуклий вгору на інтервалі.

2. Точки перегину

Точки перегину. Як випливає з прикладу 1 попереднього пункту, точка з абсцисою графіка функції є одночасно кінцем інтервалу опуклості вгору і кінцем інтервалу опуклості вниз.

Означення. Точка графіка диференційованої функції, яка є одночасно кінцем інтервалу опуклості вгору і кінцем інтервалу опуклості вниз, називається точкою перегину графіка цієї функції ( на рис.1 це точка С).

Очевидно, що в точці перегину дотична до графіка кривої повинна, з одного боку, знаходитись вище графіка кривої, а з другого – нижче його, тобто перетинати криву в цій точці.

Теорема. (необхідна умова). Нехай функція не інтервалі має неперервну похідну другого порядку. Тоді, якщо точка з абсцисою є точкою перегину графіка цієї функції, то

Теорема. (достатня умова) . Нехай функція на інтервалі має похідну другого порядку. Тоді, якщо змінює знак при переході аргументу через , то є абсцисою точки перегину графіка заданої функції.

Отже,

для знаходження точок перегину графіка функції , , потрібно:

1)знайти критичні точки функції за другою похідною;

2)дослідити знак другої похідної в деякому околі критичної точки.

Тоді, якщо змінює знак при переході аргументу через критичну точку то - точка перегину графіка заданої функції.

Приклад. Знайти точки перегину графіка функції

Розв’язання. Задана функція на всій числовій прямій має похідні

Знайдемо критичні точки функції (за другою похідною) з рівняння , тобто . Отже, і - критичні точки заданої прямої. З’ясуємо знак в околі точок і .

Якщо , то ; якщо , то . Отже, точка точка перегину.

Якщо , то , а якщо , то . Отже, точка - точка перегину.

Завдання для самостійної роботи:

1.Знайти інтервали опуклості та точки перегину графіка функції:

а)

б)

в)

г)

д)