Найбільше і найменше значення функції на проміжку

 

1. Найбільше і найменше значення функції на проміжку.

2. Задача на знаходження максимуму та мінімуму.

 

 

На практиці часто доводиться розглядати задачі, пов’язані з знаходженням найбільшого або найменшого значення з усіх тих значень, яких функція набуває на деякому відрізку. Якщо відомо, що на відрізку [a; b] функція   монотонна, то найменше і найбільше значення дістають на кінцях відрізка, зокрема, якщо  - зростаюча функція, то  - найменше значення і  - найбільше значення функції  ; якщо ж  - спадна функція, то  - найбільше значення, а   - найменше значення функції  . Наприклад, функція  =х2 для х  [0; 1] зростає на відрізку           [0; 1]. Отже,  - найменше значення функції, а  - найбільше значення.

 у

  1у=х2

  0  1      х

                      Рис.1

Нехай тепер   не є монотонною на відрізку [a; b], але відомо, що    неперервна на відрізку [a; b]  і має похідну в усіх точках відрізка [a; b], за винятком, можливо, скінченного числа точок, і в неї не більше скінченного числа стаціонарних точок. Тоді найбільшого й найменшого значення на цьому відрізку функція набуває або в одній з критичних точок, що належать (a; b), або на кінцях відрізка [a; b]. 

Отже, якщо функція неперервна і зростає (спадає) на деякому відрізку, то найбільше і найменше значення функція набуває на кінцях цього відрізка.

Неперервна і диференційована функція на заданому відрізку приймає найбільше і найменше значення в стаціонарних точках або на кінцях відрізка.

Таким чином, якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а; b] і має похідну в кожній внутрішній точці цього відрізку, то для знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку [а; b] треба:

1) знайти значення функції на кінцях проміжку, тобто числа f(a) і f(b);

2) знайти значення функції в тих стаціонарних точках, які належать інтервалу (а; b);

3) із знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Приклад 1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = x + e-x на відрізку  [-1; 2].

Розв'язання

Знайдемо значення функції в точках x = -1 та x = 2:

f(-1) = -1 + el  = e – l,  f(2) = 2 – е -2 = 2 –    .

Знайдемо f’(x): f'(x) = (x + е-x)1 = 1 - е-x. Знайдемо стаціонарні точки: 

f'(x) = 0;  1 - е-x = 0; 1 -  = 0; еx = 1; x = 0.

Знайдемо значення функції в точці x = 0: f(0) = 0 +е°= 1.

Із чисел е - 1   1,72, 2 -     1,86 та 1 найбільшим є 2 -   , а   найменшим -1. 

Відповідь: fнайб. = f(2) =2 -   ; fнайм. = f(0) = 1.

Приклад 2. Знайти найбільше і найменше значення функції  на відрізках: a) [-8; -1] i б) [-1; 1].

Розв’язання. Функція   визначена на всій числовій прямій і має похідну

  на всій числовій прямій, за винятком х=0.

Розв’яжемо рівняння  

Критичними точками заданої функції є точки х=0 і х=0,8.

а) На відрізку [-8; -1] задана функція зростає, оскільки  0 для будь-якого 

х [-8; -1].

Отже, на відрізку [-8; -1] функція набуває найменшого значення при х=-8, а найбільшого значення при х=-1:

б) Обидві критичні точки функції належать відрізку [-1; 1]. Отже, найбільше і найменше значення заданої функції на відрізку [-1; 1] знаходяться серед значень       і   і тому  ,   

Приклад 3. Знайти найбільше й найменше значення функції   на відрізку [0; 3].

Розв’язання: Розв’язавши рівняння  , знайдемо критичні точки   і  .

Найменше з чисел  ,  ,   є найменшим значенням, а найбільше – найбільшим значенням заданої функції на відрізку  .

Відповідь. fнайм.- 3, fнайб.= 6.

 

 

В багатьох геометричних та технічних задачах необхідно знайти найбільше або найменше значення величини, яка зв’язана функціональною залежністю з іншою величиною. Для розв’язання таких задач необхідно із її умови вибрати незалежну змінну та виразити її величину, яку досліджуємо через незалежну змінну, а потім знайти шукане найбільше або найменше значення одержаної функції. При цьому інтервал зміни незалежної змінної, який може бути скінченним або нескінченним, також визначається із умови здачі.

Схема знаходження найбільшого і найменшого функції при розв'язуванні прикладних задач:

1) задачу «переводять» на мову функцій. Для цього вибирають зручний параметр х, через який виражають як функцію у = f(x) величину, яка нас цікавить;

2) засобами аналізу знаходять найбільше чи найменше значення цієї функції на деякому проміжку;

3) з'ясовують, який практичний зміст (у межах даної задачі) має отриманий (на мові функцій) результат.

Задача 1. Число 20 запишіть у вигляді суми двох невід'ємних доданків так, щоб добуток їхніх квадратів був найбільшим.

Розв'язання

Нехай перший доданок дорівнює х, тоді другий доданок дорівнює 20 – х, причому х є [0; 20].

Добуток квадратів цих доданків дорівнює (20 – х)2 • х2. Отже, задача зводиться до знаходження такого х, при якому функція f(x) = (20 - х)2 • х2 набуває найбільшого значення на відрізку [0; 20].

Знайдемо похідну f'(x) = 2(20 - х) • (20 - х)' х2 + (20 - х)2 • 2х = -2x2(20 - х) +   + (20 - х)2 • 2х = 2х(20 - х)(20 – 2х).

Стаціонарними точками функції є точки 0; 20; 10. Тоді 

f(0) = (20 – 0)2 • 02 = 0;     f(l0) = (20 - 10)2 • 102 = 10 000;  

f(20) = (20 - 20)2 • 202 = 0.

Отже, fнайб. = f(10) = 10 000. Таким чином, число 20 слід подати у вигляді  20 = 10 + 10. 

Відповідь: 20 = 10 + 10.

Задача 2. Серед прямокутників, що мають периметр 20 см, знайти той, діагональ якого найменша.

Розв'язання

Нехай довжина однієї із сторін шуканого прямокутника х см, тоді друга сторона дорівнює (10 - х) см, де 0 < х < 10. Тоді (рис. 2) діагональ у прямокутника виражається формулою у = = .

 Рис.2

 Знайдемо стаціонарні точки:

у' =    · (100 - 20х + 2х2)' =  ; y’ = 0; 2x – 10 = 0;

 х= 5.

Якщо 0 < х < 5, то y' < 0, тобто функція спадає, якщо 5 < х < 10, то у' > 0, і функція зростає. Отже, найменше значення функції у =   на інтервалі (0; 10) дорівнює yнайм = y(5) =   = 5 .

Таким чином, найменшу діагональ 5 см матиме квадрат зі стороною 5 см. 

Відповідь: квадрат зі стороною 5 см.

Задача 3. Необхідно виготовити закритий циліндричний бак об’ємом V. Які повинні бути розміри, щоб на його виготовлення пішла найменша кількість матеріалу?

Розв’язок. В задачі необхідно визначити, в якому відношенні  повинні знаходитися радіус і висота циліндра, щоб при заданому об’ємі V його повна поверхня була найменшою.

Повна поверхня циліндра:   ,  .

Найменше значення цієї функції і необхідно знайти. Бачимо, що   являється функцією двох незалежних змінних, одну із яких необхідно виключити. Відомо, що об’єм циліндра  . В задачі   - величина відома. Виразимо   через V: . З цим значенням   повна поверхня циліндра дорівнює:   або  .

Тепер вже   - функція однієї незалежної змінної R.

Знаходимо

І при будь-якому R маємо, що  . Із рівняння   маємо, що   і  . Так як  , то значення   є значенням мінімуму функції, а разом з тим і найменшим значенням. Знайдемо значення h:

 , тобто  .

Таким чином, на виготовлення циліндра заданого об’єму піде найменша кількість матеріалу, якщо взяти висоту циліндру, рівну діаметру.

Задача 4. Вікно має форму прямокутника, завершеного півкругом. Визначити розміри вікна, щоб вікно пропускало найбільшу кількість світла, при заданому параметрі.

Розв’язок: Нехай периметр вікна є задане число Р, необхідно знайти R і h, щоб площа вікна була найбільшою.

Площа вікна  , де  - площа півкруга,  - площа прямокутника. Маємо функцію двох незалежних змінних. Визначимо h через R.

 Отже, площа вікна

 Знаходимо

 А це означає, що при   функція   має максимум. Знайдемо h.

 Таким чином, щоб вікно пропускало найбільшу кількість світла, необхідно, щоб ширина вікна була в два рази більша за висоту.

Задача 5. Витрати на паливо для пароплава ділиться на дві частини. Перша із них не залежить від швидкості і дорівнює 480 гривень за годину. А друга частина витрат пропорційна кубу швидкості, причому при швидкості 10 км/годину ця частина витрат дорівнює 30 гривень за годину. Необхідно знайти, при який швидкості сума витрат на 1 км шляху буде найменшою.

Розв’язок. Позначимо через х (км/год) – швидкість пароплава. Тоді друга частина витрат дорівнює  , де   - коефіцієнт пропорційності. Для визначення   підставимо х=10, тоді: 30=1000 , звідки  .

Пароплав пройде 1 км на шляху за   годин. Витрати на паливо будуть рівні:  .

Необхідно знайти найменше значення функції

 на проміжку  .

Знайдемо першу похідну:

Якщо  , то  , а х=20.

Перевіримо, що при х=20 функція   досягає мінімального значення.

Отже, при швидкості 20 км/год загальна сума витрат на 1 км шляху буде найменшою.

Задачі для самостійного розв’язку

1. Знайти найбільше і найменше значення функції   на відрізку [-1;+2] .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції   на відрізку [-4;1] .

3. Знайти найбільше і найменше значення функції   на відрізку  .

4. Із квадратного листа жерсті з стороною а необхідно виготовити відкриту зверху коробку, вирізавши по кутам квадратики та загнувши утворені кромки. Яка повинна бути сторона коробки, щоб її об’єм був найбільший.

5. На сторінці текст повинен займати  . Верхнє та нижнє поля повинні бути 3 см, праве та ліве – по 2 см. Якщо приймати до уваги тільки економію паперу, то які повинні бути найвигідніші розміри сторінки.