Лекція 5. Інтегральне числення функції однієї змінної

 

 

1. Основні методи інтегрування. 

2. Визначений інтеграл і його безпосереднє обчислення. Формула Ньютона – Лейбніца.

3. Обчислення визначених інтегралів.

 

 

Виділяють три основні методи інтегрування:

1. Безпосереднє інтегрування.

2. Метод заміни змінної

3. Інтегрування по частинах.

Безпосереднім інтегруванням будемо називати інтегрування за допомогою властивостей невизначеного інтеграла, тотожних перетворень підінтегральної функції і таблиці основних інтегралів.

Приклад 1. 

В основі методу підстановки (або методу заміни змінної) обчислення невизначених інтегралів лежить таке твердження, яке є наслідком правила диференціювання складеної функції:

Нехай дано функції , і нехай існує складена функція . Якщо функція має первісну , а функція диференційована, то функція є первісною для функції , і тому 

Приклад 2. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Замінимо змінну тоді , отже,

Приклад 3. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Припустимо, що , тоді і . Отже.

Аналогічно методом заміни змінної можемо обчислити інтеграли 

Приклад 4.

Приклад 5. 

Приклад 6.

Приклад 7. 

Інтегрування частинами За правилом диференціювання добутку маємо. Тому. Якщо похідні (або, що те саме, диференціали) двох функцій рівні, то їх невизначені інтеграли збігаються. Тому Використовуючи властивість невизначених інтегралів: дістанемо формулу Цю формулу називають формулою інтегрування частинами.

Приклад 8. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Припустивши тоді Звідси за формулою (1) матимемо

 Приклад 9. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Припустимо, що тоді Тому, використовуючи формулу (1), маємо

 Використовуючи формулу інтегрування частинами для відшукання інтегралів від добутку, важко дати загальне правило для визначення того, який співмножник в підінтегральному виразі слід позначити через і який через . Водночас при визначенні інтегралів необхідно, щоб обов’язково входило у вираз для і цей вираз був легко інтегрованим, а також щоб інтеграл був простішим від вихідного. 

Зауваження. Так, наприклад, для інтегралів виду , , за беруть многочлен , а для інтегралів виду за беруть відповідно .

Якщо в інтегралах першого виду многочлен вищий від першого степеня, то формулу інтегрування частинами треба застосовувати кілька разів.

Приклад 10. Знайти інтеграл

Розв’язання. Припустимо, що і , тоді і Тому Останній інтеграл знайдемо інтегруванням частинами. Припустимо тепер, що і тоді і Отже, Таким чином,

 Формула інтегрування частинами застосована і для знаходження інтегралів виду 

і . Для знаходження таких інтегралів формулу інтегрування частинами застосовують послідовно двічі, причому обидва рази за беруть або показникові функцію, або тригонометричну. Після дворазового інтегрування частинами дістають лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла.

Приклад 11. Обчислити інтеграл

Розв’язання. Припустимо, що і , звідки і . Тому Для знаходження останнього інтеграла використаємо ще раз формулу інтегрування частинами: Тоді Підставивши цей вираз у рівність (*) дістанемо Отже,

Завдання для самостійного розв’язання

Обчислити інтеграли:

1. ; 2. ;3. .

 

 

До поняття визначеного інтеграла приводить задача знаходження площі криволінійної трапеції.

Нехай на деякому інтервалі [а;b] задана неперервна функція 

Побудуємо її графік і знайдемо площу фігури, обмеженою цією кривою, двома прямими х=а, х=b, а знизу - відрізком осі абсцис. Ця фігура називається криволінійною трапецією (рис.1). Розділимо інтервал [a;b] на n частин точками х1,х2, ...хn-1 . Із точок поділу проведемо перпендикуляри до осі Ох. Вся площа розіб’ється на ряд частинних площ. Позначимо кожний частинний інтервал (елементарний) і його довжину через В середині кожного інтервалу виберемо точку , i=1, 2, 3...n і обчислимо значення функції в цих точках f( ), f( ), ...f( ).

Рис.1

Складемо добутки f( ) f( ) ...f( ) 

Кожен такий добуток визначає площу прямокутника з основою і висотою i = 1,2,3…n.

Сума називається інтегральною сумою функції f(x) на інтервалі [a;b]. Ця сума визначає площу ступінчатої фігури. Границя цієї суми при називається визначеним інтегралом і позначається .

Отже, 

Визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a;b] називається границя інтегральної суми при умові, що довжина найбільшого з елементарних відрізків прямує до 0:

а і b – нижня і верхня межа інтегрування, f(x) – підінтегральна функція, х – змінна інтегрування.

Для будь-якої функції f(x), неперервної на відрізку [a;b], завжди існує визначений інтеграл .

За означенням,

 Визначений інтеграл дає точне значення площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції у=f(х), віссю Oх і двома прямими х=а, х=b. Він не залежить від змінної інтегрування.

 

 

1.Нехай функція f(x) – інтегрована на [а; b], де a<b, тоді за означенням:

 Це означає, що при зміні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак на протилежний, зберігаючи значення.

2.Якщо функція f(x) інтегрована на [а,b], то функція , де - постійна теж інтегрована:

Тобто, сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла.

3. Якщо дві функції f(x) i (x) інтегровані на [а,b], то їх алгебраїчно сума (сума і різниця) теж інтегровані на [а,b]:

4. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює 0:

5. Проміжок інтегрування можна розбити на частини [а; с], [с; b], де :

Формула Ньютона – Лейбніца

Нехай нам дана функція , неперервна на [а; b] і має первісну . Побудуємо графік функції у=f(x), і візьмемо на кривій точки А і В. Припустимо що точка А нерухома і її координати (а; f(a)), а точка В рухається і її координати (х; f(x)). Тоді площа криволінійної трапеції А1АВВ2 є змінною величиною: , або . Знайдемо постійну С. тоді або

- формула Ньютона – Лейбніца (3)

де − невизначений інтеграл, тобто одна із первісних.

Отже, щоб обчислити визначений інтеграл потрібно:

1)Знайти невизначений інтеграл від даної функції, поклавши С=0.

2)Підставивши у первісну замість аргументу х спочатку верхню межу, а потім нижню, і від першого результату відняти другий.

Наприклад,

Завдання для самостійної роботи

1. Використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, обчислити інтеграли:

а) ;б) ;в) ;

г) ;д) .

 

 

Розглянемо способи обчислення визначених інтегралів розглянутими у пункті 1 методами:

1. Заміна змінних у визначеному інтегралі.

2. Інтегрування по частинах.

Теорема. Нехай функція неперервна в будь-якій точці , де , і нехай , . Тоді якщо функція має неперервну похідну, то справедлива така формула:

Ця формула називається формулою заміни змінної інтегрування в визначеному інтегралі.

Приклад 1. Обчислимо .

Застосовуємо формулу (4), припустивши, що . Для цього треба скрізь замінити х на і відповідно змінити межі інтегрування. 

Тут , і тому в новому інтегралі межами інтегрування будуть 1 і 4. 

Отже, Подивимося, як цей інтеграл можна обчислити за допомогою формули заміни змінної.

Зробимо підстановку .

Приклад 2. Обчислимо .

Оскільки , то припустимо, що . Тоді Зазначимо, що тут робити заміну не можна, бо , а в цьому інтегралі х набуває й від’ємних значень.

Приклад 3. Обчислимо інтеграл від 0 до від функції

Маємо Тут зроблено підстановку .

Зазначимо, що цей інтеграл, як і інтеграли з прикладів 1 і 2, можна обчислити без заміни змінної інтегрування. Справді,

 Як відомо, формулу інтегрування частинами для невизначених інтегралів доводять інтегруванням рівності .

Аналогічно доводять і формулу інтегрування частинами для визначених інтегралів.

Теорема. Якщо функції і мають неперервні похідні на відрізку , то справедлива формула (5)

Коротко цю формулу записують так: Формула (5), як і формула (6), називається формулою інтегрування частинами для визначеного інтеграла.

Приклад 1. Обчислимо .

Застосуємо формулу інтегрування частинами, припустивши, що , , Тоді

Приклад 2. Обчислимо .

Припустимо, що , , тобто , і застосуємо формулу (6): До знайденого інтеграла знову застосуємо формулу інтегрування частинами: Отже.