+3 8(066) 185-39-18
fЗавдання №1. Задано вибiрку, яка характеризує мiсячний прибуток пiдприємцiв (в тис.грн.).
Скласти варiацiйний ряд та статистичний розподiл вибiрки, побудувати полiгон частот.
Скласти iнтервальний статистичний розподiл вибiрки, розбивши промiжок (x min, x max) на 5 рiвних промiжкiв, та побудувати гiстограму частот.
Обчислити вибiрковi характеристики: вибiркове середне, вибiркову дисперсiю, вибiркове середне квадратичне вiдхилення, моду та медiану, якщо вибiрка має такий вигляд:
Розв'язок
Запишемо елементи вибірки в порядку зростання, таким чином отримаємо варіаційний ряд:
37,33,33,32,37,30,40,34,35,34,36,35,41,32,40,34,31,39,38,35.
У вибірці маємо 12 різних значень, тобто варіант:
30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41.
Знайдемо їх частоти:
Запишемо шуканий статистичний розподіл вибірки:
хi303132333435363738394041
ni112233121121
Для того щоб побудувати полігон частот, відкладемо на осі абсцисс значення варіант xi , а на осі ординат — значення відповідних їм частот ni і послідовно з’єднаємо між собою точки xi,ni відрізками.
Складемо інтервальний статистичний розподіл вибірки. Для цього розіб’ємо інтервал 30;41на 5 рівних проміжків довжиною .
Інтервал[30;32,2](32,2;34,4](34,4;36,6](36,6;38,8](38,8;41]
Частота45434
Для побудови гістограми обчислимо щільності частоти:
Побудуємо гістограму частот.
Обчислимо вибіркові середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та медіану.
Вибіркове середнє:
Середній квадрат відхилення значень елементів вибірки від вибіркового середнього називається вибірковою дисперсією. Вибіркова дисперсія дорівнює різниці середнього квадрата елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:
Середнє квадратичне відхилення знаходимо як квадратний корінь з вибіркової дисперсії:
Медіаною Me називається значення середнього елемента варіаційного ряду. Якщо обсяг вибірки n= 2m парний (як, в нашому випадку), то медіаною буде середнє значення елементів варіаційного ряду з номерами m і m +1 :
Модою ( Mo ) називається варіанта з найбільшою частотою:
Завдання №2. Нехай генеральна сукупнiсть має нормальний роподiл. Знайти довiрчi iнтервали, якi покривають з надiйнiстю γ=0,95 математичне сподiвання α та середнє квадратичне вiдхилення σ генеральної сукупностi, якщо з неї одержано вибiрку:
хi35791113151719
ni7152845785030178
Розв'язок
Обсяг вибірки: n = 7+15+28+45+78+50+30+17+8=278.
Для побудови довірчих інтервалів обчислимо вибіркове середнє і вибіркове середнє квадратичне відхилення за формулами:
Оскільки середнє квадратичне генеральної сукупності невідоме, то визначаємо довірчий інтервал для математичного сподівання. Знайдемо виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення:
Довірчий інтервал з надійністю γ для математичного сподівання a нормально розподіленої генеральної сукупності при відомому середньому квадратичному відхиленні має вигляд:
, де – точність оцінки.
Величину t знайдемо за таблицею значень функції . При значеннях γ =0,95 і n = 100 = 1,98.
Розраховуємо довірчий інтервал:
Отже, інтервал (10,45; 11,83) покриває параметр a з надійністю γ = 0,95.
Визначимо тепер довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення σ генеральної сукупності.
Величина є табличним значенням. При γ =0,95 і n =100 =0,14.
Оскільки < 1, то довірчий інтервал нормально розподіленої генеральної сукупності визначається наступним чином:
Отже, інтервал (3,02; 4,00) покриває параметр σ з надійністю γ = 0 95.
Завдання №3. За даними вибiрки, використовуючи критерiй Пiрсона при рiвнi значущостi α=0,05, перевiрити, чи справджується статистична гiпотеза про нормальний розподiл генеральноi сукупностi X:
хi91113151719212325
ni591114181512106
Розв'язок
Визначимо обсяг вибірки: n = 5+9+11+14+18+15+12+10+6=100.
Обчислимо вибіркове середнє:
Визначимо вибіркове середнє квадратичне відхилення:
Визначимо теоретичні частоти. З цією метою використаємо формулу:
де n — обсяг вибірки; h — крок (різниця між двома сусідніми варіантами); — диференціальна функція Лапласа:
В нашому завдання значення при і = 1, 2, ..., 9 будуть наступними:
Враховуючи, що різниця між двома сусідніми варіантами h = 2, а обсяг вибірки n = 100, визначимо теоретичні частоти. Для цього складемо розрахункову таблицю (значення диференціальної функції Лапласа представляють собою табличні величини):
іхіnіui
195-1,900,05512,12
2119-1,430,14355,38
31311-0,970,296610,42
41514-0,510,350315,69
51718-0,050,398418,43
619150,420,365316,76
721120,880,270911,87
823101,340,16266,55
92561,800,07902,76
Знайдемо спостережуване значення критерію Пірсона за формулою:
За таблицею критичних точок розподілу χ2 при заданому рівні значущості α = 0 05, і кількості ступенів вільності k =s – 3 = 9 – 3 = 6 (s – кількість варіант вибірки) знайдемо критичну точку правосторонньої критичної області:
Оскільки < , то немає підстав відхиляти статистичну гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності: емпіричні і теоретичні частоти різняться несуттєво (випадково).