Лінійна залежність та незалежність векторів. Базис та ранг системи векторів

Предмет:

Математика

Тип роботи:

Реферат

К-сть сторінок:

2

Мова:

Українська

Оцінка:

1. Лінійна залежність та незалежність векторів. Ранг сукупності векторів

Система векторів називається лінійною залежною, якщо існують такі числа хоча б одне з яких відмінне від нуля, що має місце рівність:

(1)

Якщо рівність (1) можлива лише у випадку, коли всі то система векторів називається лінійно незалежною.

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійну незалежну підсистему даної системи векторів, називаюється рангом цієї системи.

2. Базис. Перехід від одного базису до іншого

Базисом векторного простору називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору.

Матрицю , стовпчики якої є координати нового базису в старому базисі , будемо називати матрицею переходу від базису e до базису .

3. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі

Рангом матриці A розмірність mXn називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора утворенного з елементів матриці. Позначають ранг – r чи r (A).

Теорема: система лінійних алгебрарічних рівнянь сумісна тоді, і тількі тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширенної матриці.

Однородні системи рівнянь.

Система однорідних лінійних рівнянь має нейтральні розв’язки тоді, і тільки тоді, коли .

Метод Гаусса.

Метод Жорданна-Гаусса.

Розв’язання рівнянь методом Г-Ж здійснюється за допомогою розрахункової таблиці в яку записують коефіцієнти при невідомих, стовпчики вільних членів і контрольний стовпчик.

В контрольний стовпчик 1-ого стовпця записують суму елементів по рядках. Елементи контрольного стовпчика 2-ого і наступних таблиць продовжують за правилом прямокутника. Контроль здійснюють так: якщо скма елементів рядка, крім останнього дорівнює останньому елементу, то обчислення зроблене вірно.

Розв’язування продовжується доки ми не отримаємо стільки одиночних векторів, скільки залишилося рівнянь.

Власні числа та власні вектори матриці.

Лінійне перетворення в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна твердити, що лінійне перетворення характеризується набором власних чисел, які в подальшому будемо називати спектром лінійного перетворення , або спектром матриці A.

Розглянемо лінійне перетворення в просторі таке, що переводить відмінний від нуля вектор , тобто: .

Такий вектор називати власним вектором перетворення , а і – власним числом, що відповідає цьому власному вектору.