Перетин поверхонь геометричних тіл прямою та площиною

 

Багатогранник – це геометричне тіло, обмежене плоскими гранями. Грані, перетинаючись, утворюють сітку багатогранника, складену з ребер і вершин. Зображення багатогранника на кресленні зводиться до побудови проекцій його сітки.

Площина перетинає багатогранник по багатокутнику, вершини якого є точками перетину січної площини з ребрами, а сторони – лініями перетину січної площини з гранями. Таким чином, побудова багатокутника перерізу зводиться до розв’язування відомих позиційних задач: побудова точки перетину прямої з площиною або лінії перетину двох площин. Відповідно розрізняють два способи побудови: спосіб ребер і спосіб граней.

Використовуючи спосіб ребер, визначають вершини багатокутника перерізу як точки перетину ребер багатогранника з січною площиною. Так, точка А є точкою перетину ребра піраміди 1S з площиною Г, В-ребра 2S і С – ребра 3S. Трикутник АВС – шуканий переріз піраміди.

Якщо користуються способом граней, то будують сторони фігури перерізу як лінії перетину площин граней із січною площиною. Так, відрізок прямої АВ являє собою лінію перетину грані 12S з площиною Г, ВС – грані 23S і АС – грані 13S.

Вибираючи той чи інший спосіб розв’язування, необхідно керуватися міркуваннями про найпростіше розв’язування задачі. Слід також мати на увазі, що якщо січна площина є проекціюючою, то одна з проекцій фігури перерізу збігається із слідом цієї площини, і задача зводиться до побудови другої її проекції за однією відомою.

Розглянемо кілька прикладів на застосування обох способів.

Перетин площини з багатогранником

Приклад 1. Побудувати натуральний вигляд перерізу прямої призми фронтально – проекціюючою площиною Σ.

Фігура перерізу – трикутник. Фронтальна її проекція збігається зі слідом січної площини Σ, а горизонтальна – з однойменною проекцією призми. Натуральний вигляд перерізу А4В4С4 побудований на новій горизонтальній площині проекцій 4, паралельній площині перерізу.

Приклад 2. Побудувати проекції перерізу трикутної піраміди фронтально – проекціюючою площиною Σ.

Площина Σ перетинає піраміду по трикутнику АВС. Його фронтальна проекція А2В2С2 збігається з однойменним слідом Σ2 січної площини. Горизонтальні проекції вершин А і С побудовані за допомогою ліній проекційного зв’язку, а вершини В, яка лежить на профільному ребрі 2S, – за допомогою горизонталі h грані 23S.

Перетин прямої лінії з багатогранником

Загальним способом побудови точок перетину прямої з поверхнею багатогранника здійснюють в такій послідовності:

- через пряму проводять допоміжну площину;

- будують багатокутник, по якому допоміжна площина перетинає багатогранник;

- фіксують точки перетину прямої з фігурою перерізу, які і є шуканими точками.

Приклад 1. Побудувати точки перетину прямої l з поверхнею трикутної піраміди.

Через пряму провели фронтально – проекціюючу площину Σ, яка перетинає піраміду по трикутнику АВС. Шукані точки перетину М та N.

Перетин кривих поверхонь площиною та прямою лінією

В загальному випадку лінію перетину кривої поверхні з площиною будують способом допоміжних січних площин.

Січна площина Г перетинає задану поверхню Ф по деякій лінії l. Точки цієї лінії будують за допомогою допоміжних площин. Так, площина Σ перетинає задану поверхню по кривій лінії и, а січну площину Г – по прямій а. Ці лінії перетинаються в точках М і N, які належать шуканій лінії перетину l. Повторюючи указаний спосіб декілька разів, можна знайти достатню кількість точок для побудови фігури перерізу. При цьому допоміжні площини слід вибирати так, щоб одержувались прості перерізи поверхні.

Якщо поверхня лінійчата, то фігуру перерізу можна будувати способом твірних, визначаючи точки перетину прямолінійних твірних з січною площиною. Таким чином, побудова ліній перетину зводиться до багаторазового розв’язування відомої задачі про визначення точки перетину прямої з площиною.

Перетин циліндра площиною

Площина може перетинати циліндр по прямолінійних твірних, по колу і по еліпсу.

Приклад 1. Побудувати проекції і натуральний вигляд перерізу прямого кругового циліндра фронтально – проекціюючою площиною Σ.

Фігура перерізу – еліпс. Фронтальна проекція його збігається із Σ2, а горизонтальна – з колом, в яке проектується на площину 1 циліндр.

Велика вісь еліпса визначається відрізком АВ, а мала СD дорівнює діаметру циліндра d. Натуральний вигляд перерізу знайдено двома способами – способом плоскопаралельного переміщення і способом заміни площин проекцій.

Перетин конуса площиною

Можливі такі перерізи конуса:

1. Еліпс, якщо січна площина перетинає всі твірні конуса.

2. Парабола, якщо січна площина паралельна одній твірній конуса.

3. Гіпербола, якщо січна площина паралельна двом твірним конуса.

4. Трикутник, якщо січна площина проходить через вершину конуса.

На рис. 17, а дана фронтальна проекція прямого кругового конуса і показані сліди січних площин, які дають відповідні перерізи, а на рис. 17, б, в, г, д, е – наведені їх наочні зображення.

Перетин кривих поверхонь прямою лінією

Загальним способом побудови точок перетину прямої лінії з поверхнею виконують в такій послідовності:

- через пряму проводять допоміжну площину;

- будують лінію перетину поверхні допоміжною площиною;

- визначають точки перетину прямої з поверхнею.

1. Побудова багатокутника перерізу зводиться до розв’язування відомих позиційних задач: побудова точки перетину прямої з площиною або лінії перетину двох площин.

2. Відповідно розрізняють два способи побудови: спосіб ребер і спосіб граней. Використовуючи спосіб ребер, визначають вершини багатокутника перерізу як точки перетину ребер багатогранника з січною площиною. Якщо користуються способом граней, то будують сторони фігури перерізу як лінії перетину площин граней із січною площиною.

 

 

Більшість найскладніших і відповідальних оригінальних деталей приладів і машин утворені комбінацією різних елементарних тіл, розташованих у просторі так, що поверхні їх перетинаються між собою. Тому важливим етапом конструювання таких деталей є визначення меж елементарних початкових поверхонь, якими і є лінії їхнього взаємного перетину.

Спільна лінія двох поверхонь називається лінією їх перетину.

Для побудови лінії перетину поверхонь використовують два способи та їх комбінації.

1. Будують точки перетину ребер одного багатогранника з грянями другого і ребер другого з гранями першого. Через побудовані точки в певній послідовності проводять ламану лінію перетину даних багатогранників. При цьому відрізки прямих проводять лише через ті побудовані точки, які лежать у одній і тій же грані.

2. Будують відрізки прямих, по яких грані однієї поверхні перетинають грані другої. Ці відрізки є ланками ламаної лінії перетину багатогранних поверхонь між собою.

3. Таким чином, побудова перетину двох багатогранників зводиться аж до побудови лінії перетину двох площин між собою, або до побудови точки перетину прямої з площиною. На практиці, як правило, використовують обидва способи в комбінації, виходячи з умови простоти і зручності побудови.

Загальний спосіб побудови лінії перетину двох поверхонь називається способом допоміжних січних поверхонь або способом посередників. Суть цього способу полягає у наступному.

Дві криволінійні поверхні перетинаються третьою допоміжною січною площиною. Знаходять лінії перетину KL та MN допоміжні поверхні з кожною із заданих. Точка перетину побудованих ліній перетину KL та MN належить шуканій лінії заданих поверхонь.

Повторюючи такі побудови багаторазово за допомогою інших допоміжних поверхонь, знаходять необхідну кількість спільних точок двох поверхонь для проведення лінії їх перетину. Одержані точки з’єднують плавною кривою лінією.

Лінію перетину поверхонь називають також і лінією переходу даних поверхонь.

Загальне правило побудови лінії перетину поверхонь можна сформулювати так:

- вибрати тип допоміжних поверхонь;

- побудувати лінії перетину допоміжних поверхонь із заданими поверхнями;

- знайти точки перетину побудованих ліній і з’єднати їх між собою.

За допоміжні січні поверхні вибирають такі, лінії перетину яких із заданими поверхнями проекціюються на креслення в графічно прості лінії – прямі, кола. Такими посередниками є площини частинного положення, які паралельні площинам 1 і 2, або сфери. Щоб розв’язати задачу, треба провести не одну, а кілька допоміжних площин або сфер.

На прикладі бачимо:

– задані поверхні, наприклад  і β, перетинають допоміжною поверхнею γ;

– будують лінії перетину a і b поверхонь допоміжною поверхнею γ;

– точки перетину K та M лінії a з лінією b належать як , так і β;

– повторюють попередні операції декілька разів, переміщуючи січну поверхню;

– будують лінію перетину поверхонь  і β, з’єднуючи отримані точки між собою.

На лінії перетину поверхонь розрізняють точки опорні і випадкові або проміжні.

Розпочинати побудову лінії перетину слід з визначення опорних точок: найвищих і найнижчих, крайніх правих і лівих, точок видимості тощо. Опорні точки дають можливість побачити, в яких межах розміщені проекції лінії перетину і де слід визначати проміжні точки.

Два тіла можуть перетинатися по одній або по двох замкнених лініях. У першому випадку перетин буде неповним і на тілах утворяться заглибини у вигляді врубок. Цей випадок називається врізанням. При двох замкнених лініях перетину одне тіло цілком проникає в інше. Такий випадок називається проникненням.

Характер лінії перетину залежить від того які геометричні тіла або поверхні перетинаються.

Після того як за допомогою посередників визначені точки, які належать лінії перетину даних поверхонь, необхідно встановити послідовність з’єднання одержаних точок і визначити видимість окремих частин ліній перетину.

При визначенні послідовності з’єднання точок користуються такими положеннями:

- з’єднувати між собою можна лише такі точки, які лежать на одній і тій же грані кожної з двох поверхонь;

- з’єднувати між собою можна лише точки, які лежать на сусідніх твірних.

Але реалізація цих положень на практиці в ряді випадків викликає значні труднощі, вимагає великої затрати часу і добре розвинутої просторової уяви.

Визначивши точки лінії перетину, їх з’єднують в певній послідовності з врахуванням видимості окремих частин лінії перетину.

При цьому керуються такими положеннями:

1) якщо відрізок лінії перетину двох багатогранників лежить на перетині видимих граней даних проекцій фігур, то він також видимий на цій проекції;

2) якщо обидві грані або одна з них невидимі, то і відрізок лінії перетину даних граней невидимий;

3) для кривих поверхонь видимими є лише точки, одержані в перетині двох видимих твірних. Якщо одна з двох твірних невидима, то й точка перетину їх невидима;

4) точки переходу видимої частини лінії перетину в невидиму завжди лежать на обрисних твірних тієї чи іншої поверхні;

5) видимість визначається окремо для кожної з проекцій фігур, які перетинаються.

 

1. Інженерна та комп’ютерна графіка: Методичні рекомендації для виконання графічних робіт при курсовому та дипломному проектуванні /Укл. Є. В. Перегуда. – Житомир: ВФРЕ при ЖІТІ, 1998.

2. Годік Є. І. Технічне креслення. – М. : Машинобудування, 1974.

3. Хаскін А. М. Креслення. – К. : Вища школа, 1972.

4. Гордон В. О., Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии. М., 1988.