Переведення чисел із заданою точністю. Зображення чисел з фіксованою і плаваючою крапкою

 

 

 

Представлення чисел в форматі з фіксованою комою

Для чисел, представлених в форматі з фіксованою точкою, попередньо визначається місце крапки між розрядами, тому число може бути визначене тільки у визначеному діапазоні. Якщо розглядати два числа, в яких місце розміщення різні, то числа вирівнюються по молодшому розряду. Для цього всі числа, які заносяться в цифровий автомат множаться на масштабний коефіцієнт.

Наприклад:

111. 101 * 24 = 1111010 – цілий вид;

111. 101 * 2-3 = 0. 111101 – дробовий вид,

где 24 и 2-3 – масштабний коефіцієнт.

Приклад 1. Числа A, -A, B і -B представить в форматі з фіксованою крапкою (в 16-ти розрядах). При цьому числа A і B привести до цілого виду, а -A і -B до дробового з 4-мя знаками після крапки.

А = 30710 = 1001100112

A = 0000000100110011 – цілий вид;

A = 100110011*2-4 = 000000010011. 0011 – дробовий вид.

В = 6. 610 = 110. 12

B = 110. 1*21 = 0000000000001101 – цілий вид;

B = 110. 1*2-3 = 000000000000. 1101 – дробовий вид.

Представлення чисел в форматі з плавучою крапкою

Довільне число N в системі числення з основою q можна записати у вигляді N=M*qp, где M називається мантисою числа, а p – порядком. Такий спосіб запису чисел називається представленням з плаваючою крапкою. Мантиса повинна бути правильним дробом, перша цифра дробової частини якого відмінна від нуля: M із діапазона [0. 1; 1).

Таке, найбільш вигідне для комп’ютера, представлення дійсних чисел називається нормалізованим.

Мантису і порядок q-ного числа прийнято записувати в системі з основою q, а саму основу – в десятковій системі.

При зберіганні числа з плавучою точкою відводяться розряди для мантиси, порядку, знаку числа і знаку порядка: 

 

Наприклад: 753. 15 = 0. 75315*103.

Приклад 2. Числа A, -A, B і -B представити в форматі з плавучою крапкою.

А = 307 = 0. 307*103

В = 6. 6 =0. 66*101

Приклад 3. Нехай n=5 (кількість розрядів для мантиси), p=3 (кількість розрядів для порядку). Знайти десятковий еквівалент чисел з плаваючою точкою:

-0, 111110111; б) 0, 100001101.

Розв’язання:

а) 1 11111 0 111 мантиса = – 31/32, порядок =+7, число = – 31/322+7= -124.

б) 0 10000 1 101 мантиса =+1/2, порядок = -5, число = +1/22- 5= +1/64.

Приклад 4. Виконати обернене перетворення числа -9/256 для того ж формату з n=5 і p=3.

Розв’язання:

1) двійкове представлення -0, 000010012;

2) мантисса = – 0, 100102= – 18/32= -9/16;

3) порядок = -1002= -4.

Отже, число запишеться у вигляді: 1 10010 1 100 або -0, 100101100

 

 

1. Запишіть числа 1110110, 0112 у нормалізованій та ненормалізованій формах із плавучою крапку.
2. Представте десяткові числа 4. 5, 31, 1023, 4096 в класичному форматі з плаваючою точкою (n=12, p=5).
3. Вкажіть всі переваги представлення чисел з плаваючою крапкою в нормалізованій формі.
4. Для базових форматів стандарту на арифметику з плаваючою точкою знайти мінімальні і максимальні представляючи числа.

 

 

1. Злобин В. К., Григорьев В. Л. Программирование арифметических операций в микропроцессорах. – М. ; Вища. шк., 1991. -303 с. (ст. 24-32)
2. Мікропроцесорна техніка: Підручник /Ю. І. Якименко, Т. О. Терещенко. – К. : ІВЦ «Видавництво «Політехніка»; «кондор», 2004. – 440с. (ст. 25-32)
3. Савельєв А. Я. Арифметические и логические основы цифровых автоматов: Учебник. – М. : Вища шк., 1990. – 215с. (ст. 42-48)

 

 

Частина І. Переведення чисел з заданою точністю.

 

Завдання 1. Перевести наступні числа із двійкової системи числення у десяткову з похибкою 0, 01:

 

 

Завдання 2. Перевести наступні числа із десяткової системи у вісімкову без проміжного переведення у двійкову з похибкою 0, 001:

 

Завдання 3. Перевести наступні числа із десяткової у шістнадцяткову без проміжного переведення у двійкову з точністю до трьох розрядів після коми: 

 

Завдання 4. Перевести наступні числа із десяткової системи у двійкову з точністю 0, 0001: 

 

Частина ІІ. Зображення чисел з фіксованою і плаваючою крапкою.

 

Завдання 1. Записати у 8-розрядній комірці в прямому коді з фіксованою крапкою наступні числа:

 

 

Завдання 2. Записати у 16-розрядній cітці в прямому коді з плаваючою крапкою наступні числа для мантиси і порядку виділити по вісім розрядів:

 

Завдання 3. Скільки двійкових розрядів потрібно використати для запису з фіксованою крапкою даного числа з абсолютною похибкою не менше:

 

Завдання 4. Скільки потрібно розрядів, щоб записати у класичному форматі з плаваючою крапкою точні значення наступних двійкових чисел: