Побудова економетричної моделі у вигляді парної лінійної регресії і її статистичний аналіз

1. Мета роботи. Отримання студентами практичних навичок побудови економетричної моделі у вигляді парної лінійної регресії, її статистичного аналізу  і використання.

2. Задачі завдання: 

1. Специфікація економетричної моделі.

2. Оцінка параметрів моделі 1 МНК.

3. Перевірка загальної адекватності моделі.

4. Перевірка статистичної значимості параметрів моделі і вибіркового коефіцієнта кореляції.

5. Побудова інтервалів довіри для параметрів моделі.

6. Прогнозування за моделлю парної лінійної регресії.

7. Аналіз моделі.

3. Постановка задачі і вихідні дані.

За даними вибіркових статистичних спостережень побудувати економетричну модель, яка описує попит на деякі  товари споживання в залежності від ціни на них, і перевірити загальну адекватність побудованої моделі статистичними даним.

Вихідні дані. N – номер варіанту; K- номер групи

Номер спостережень  i Ціна  Р Попит  Q

1 6 9,6

2 7 8,5

3 8 7,7

4 9 7,6

5 10 6,7

6 11 6,1

7 12 5

8 13 4,9

9 14 3,8

10 15 3,2

11 16 2,8

12 17 2,4

4. Хід роботи:

1. У відповідності до своїх вихідних даних заповнюється таблиця статистичних даних.

2. Виконується специфікація економетричної моделі: вибирається відповідне аналітична форма моделі, визначаються залежні і незалежні змінні моделі, будуеться діаграма розсіювання і порівнюється гіпотеза щодо лінійності моделі, записується рівняння регресії.

3. Методом найменших квадратів (1МНК) виконується оцінка невідомих параметрів вибіркової моделі. Допоміжні розрахунки зводяться до таблиці1.

4. Розраховується вибірковий коефіціент парної кореляції ryx і коефіціент детермінації R2

5. Виконується дисперсійний аналіз. Розрахунки виконують в допоміжній таблиці 2.

6. На основі дисперсійного аналізу визначаеться F -критерій Фішера.

7. Розраховується критерій Фішера через відоме значення коефіціента детермінації R2 .

8. За статистичними таблицями F- розподілу Фішера визначається критичне значення критерію Фішера Fкр.

9. На основі визначених коефіціентів кореляції і детермінації, а також тесту Фішера робиться висновок про адекватність і якість побудованої економетричної моделі.

10. Розраховується оцінка дисперсії випадкової складової моделі   

11. Визначаються оцінки дисперсії параметрів моделі  і , а також їхні стандартні похибки  і  .

12. Для кожного параметра визначаються розрахункові значення критерію Стюдента   .

13. Для рівня значимості   за статистичними таблицями  - розподілу Стюдента визначається критичне значення критерію Стюдента 

14. Оцінюється статистична значимість параметрів вибіркової парної регресії і робиться відповідний висновок.

15. Виконується  - тестування вибіркового коєфіціента парної кореляції ryx і робиться відповідний висновок щодо його статистичної значимості.

16. Робиться загальна оцінка якості і статистичної значимості побудованої моделі 

17. Визначаються інтервали довіри для параметрів моделі.

18. Для прогнозного значення  хі=13+К визначається точковий і інтервальний прогноз 

19. На основі отриманої моделі визначаються коефіціенти еластичності для базових даних.

20. На діаграмі розсіювання будується теоретична пряма регресії , її довірча зона і графік коефіціента еластичності.

 

5. Допоміжний матеріал:

1. Розрахункові залежності.

Оцінювання параметрів моделі.    де Х – матриця спостережень   Х!- транспонована матриця      для m=1 маємо:

Обернена матриця

0,47669 -0,05245

-0,05245 0,006993

X'Y

10,60862

-0,65559

Коефіціент кореляції і детермінації:

    де   .

R -0,994776247

R^2 0,989579781

Критерій Фішера:

n - кількість спостережень;        

m- кількість факторів;      

 к- кількість параметрів.

Fisher 17094,11

Сер пох 8319,865

Коваріаційна матриця

0,065247 -0,0052

-0,0052 0,00045

Qb0 0,690427

Qb1 0,083624

Tb0 15,3653

tb1 -7,83977

tr -27,5633

12,96189277 <=B0<= 14,10011

-0,841741877 <=    B1    <= -0,46944693

Табл значення t-критерію Стюдента 2,226

Табл значення F- критерію Фішера 4,96

2.Форми таблиць

Таблиця 1

№ спостережень Ціна, х1 Попит, у х21 y2 х1 y

1 6 9,9 36 98,01 59,4

2 7 8,8 49 77,44 61,6

3 8 8 64 64 64

4 9 7,9 81 62,41 71,1

5 10 7 100 49 70

6 11 6,4 121 40,96 70,4

7 12 5,3 144 28,09 63,6

8 13 5,2 169 27,04 67,6

9 14 4,1 196 16,81 57,4

10 15 3,5 225 12,25 52,5

11 16 3,1 256 9,61 49,6

12 17 2,7 289 7,29 45,9

Сума 138 71,9 1730 492,91 733,1

Таблиця 2

№ спостережень Попит,У Yрозрах Y-Yрозрах (Y-Yрозр)2 Y-Ys (Y-Ys)2

1 9,6 9,2974 0,30256 31,36 3,308 10,945

2 8,5 8,6418 -0,14184 0,25 2,208 4,877

3 7,7 7,9862 -0,28625 68,89 1,408 1,983

4 7,6 7,3307 0,26935 302,76 1,308 1,712

5 6,7 6,6751 0,02494 858,49 0,408 0,167

6 6,1 6,0195 0,08054 1840,41 -0,192 0,037

7 5 5,3639 -0,36387 3481 -1,292 1,668

8 4,9 4,7083 0,19172 5791,21 -1,392 1,937

9 3,8 4,0527 -0,25268 9254,44 -2,492 6,208

10 3,2 3,3971 -0,19709 13876,84 -3,092 9,558

11 2,8 2,7415 0,05851 19937,44 -3,492 12,192

12 2,4 2,0859 0,31410 27755,56 -3,892 15,145

Сума 68,3 68,3 4,44089E-15 83198,65 -7,1999992 66,42917

Таблиця 3

№ спостережень Ціна,х E

1 6 -0,2084

2 7 -0,3126

3 8 -0,4168

4 9 -0,521

5 10 -0,6252

6 11 -0,7294

7 12 -0,8336

8 13 -0,9378

9 14 -1,042

10 15 -1,1462

11 16 -1,25041

12 17 -1,35461

Сума 138 -9,37804

 

 

  Метою роботи була побудова і статистична перевірка моделі парної лінійної регресії. Виконавши специфікацію моделі, стало зрозуміло, що між ціною і попитом існує залежність, яку можна описати у0=b0+b1x. Застосувавши метод  найменших квадратів, я знайшла параметри лінійної регресії:b0=10,60862, b1=-0,65559.  Наступним етапом була оцінка статистичної значимості параметрів моделі за допомогою  - розподілу Стюдента. Розрахункові значення для  - розподілу Стюдента для параметричної моделі склали: t*b0=15,3653, t*b1=-7,83977. Порівнюючи їх з табличним значенням  - розподілу Стюдента (2,226), встановили, що параметр b0 значно більший по модулю від  t крит   він є статистично значимий. Аналогічно t*b1> t крит , тому параметр b1 статистично значимий. Наступним кроком була загальна оцінка адекватності моделі статистичних даних за законом F-критерія Фішера. Встановивши, що Fрозрах>Fтабл, можна вважати, що модель (з ймовірністю p=0,95) адекватна. Коефіцієнт кореляції вказує на дуже тісний зв’язок між ціною та попитом. Знак коефіцієнта кореляції “-“, вказує на те, що цей зв’язок є оберненим, тобто при зростанні ціни попит буде зменшуватися, і навпаки. Зробивши попередні розрахунки, я побудувала інтервали довіри для параметрів моделі. Також визначили коефіцієнт еластичності попиту.